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2.2 Charakterisierung reiner 2- und 3-Qubit Zustände 11
GHZ − Klasse
W − Klasse
1 −23 2 −13 3 − 12
1−2−3
Abbildung 2.2: SLOCC Klassenstruktur reiner 3-Qubit Zustände aus der Arbeit von Dür et
al. [38].
SLOCC, falls, und nur dann, die Zustände durch invertierbare lokale Transformationen
zusammenhängen. Bei drei Qubits z.B.
|φ〉 = U 1 ⊗ U 2 ⊗ U 3 |ψ〉 und |ψ〉 = U1 −1 ⊗ U2 −1 ⊗ U3 −1 |φ〉, (2.29)
wobei U 1 ,U 2 und U 3 invertierbare Operatoren sind. Das Hauptergebnis der Arbeit von
Dür et al. ist die Klassenstruktur reiner 3-Qubit Zustände, die in Abb. 2.2 dargestellt ist.
Sie zeigen, daß sich jeder 3-Qubit verschränkte Zustand durch SLOCC in eine von zwei
Standardformen konvertieren läßt. Einerseits in den GHZ-Zustand (Greenberger, Horne
und Zeilinger [51,52]):
|GHZ〉 = √ 1 ( )
|000〉 + |111〉 , (2.30)
2
andererseits in den W-Zustand:
|W 〉 = 1 √
3
(
|001〉 + |010〉 + |100〉
)
|˜W 〉 = 1 √
3
(
|011〉 + |101〉 + |110〉
)
. (2.31)
Die zugehörigen Klassen werden den Prototypen zugeordnet. Bei 3-Qubit Zuständen können
dann weiterhin 2-Qubit verschränkte Zustände (Qubit 1 und 2 verschränkt, mit 3 − 12
bezeichnet, usw.) und Produktzustände unterschieden werden. Diese Klassenstruktur läßt
sich auch anhand der oben besprochenen Maße differenzieren. Nur Zustände der GHZ-
Klasse haben ein von Null verschiedenes Tangle Maß. Zustände aus der W-Klasse sind
demnach nicht 3-Qubit verschränkt. Wie in [44] gezeigt, erfüllt der W-Zustand aber das
Bell Kriterium für eine 3-Qubit Verschränkung. Diese kann als effektive 3-Qubit Verschränkung
gedeutet werden, da die jeweiligen 2-Qubit Concurrences maximal sind, wie
in [38] bewiesen wurde.
Eine weitere Möglichkeit SLOCC Invarianz zu berechnen, bieten Li et al. [77]. Ihr Ausgangspunkt
sind Prototypenzustände, wie der GHZ- oder der W-Zustand. Das Existenzkriterium
für eine mögliche SLOCC-Transformation ist wie von Dür et al. gezeigt, die
Existenz lokaler unitärer Transformationen. Zwei Zustände |φ〉, |ψ〉 sind invariant unter
SLOCC, falls die Transformation (2.29) möglich ist. Nimmt man nun den zu untersuchenden
Zustand |φ〉 und den Prototypen als |ψ〉, können leicht Kriterien berechnet werden,
d.h. also Bedingungen unter denen die Transformation existiert. Diese sind meist auf die
Invertierbarkeit der Matrizen zurückzuführen, also einer von Null verschiedenen Determinanten.
Für einen allgemeinen 3-Qubit Zustand in der Standardbasis, ∑ 8
i=1 α i|i〉, gelten