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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Qubit Verschränkung 19
1
30
CKW / Invarianten
0.8
0.6
0.4
0.2
10
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
γ 2
Abbildung 2.5: Optimierte Bell Ungleichungen (schwarze Punkte) auf der rechten y-Achse, Globalverschränkung
Q (gestrichelte Linie) und √ S Invariante auf der linken y-
Achse, als Funktion von γ 2 für den parameterabhängigen GHZ-Zustand. Die
gepunktete Linie zeigt die untere Grenze der Bell Bedingung für eine 3-Qubit
Verschränkung (≥ 8) bzw. eine 4-Qubit Verschränkung (≥ 16).
20
Optimierte Ungleichungen
stimmen trotzdem alle Größen perfekt überein. Dieser Zustand gehört nicht zur äußersten
von Miyake beschriebenen SLOCC Klasse, da das Hyperdeterminantenkriterium (∆ = 0)
nicht erfüllt ist. Das Kriterium nach Li et al., ob der Zustand SLOCC invariant zum
GHZ-Zustand ist:
−γ √ 1 − γ 2 ≠ 0 (2.79)
ist natürlich für γ ∈]0,1[ erfüllt.
2.3.3.2 Heisenberg Zustand |φ 15 〉
Die Charakterisierung des nächsten Zustandes ist im Vergleich mit den bisher behandelten
Zuständen komplexer. |φ 15 〉 ist Eigenzustand eines speziellen 4-Qubit Heisenberg-Modells,
mit antiferromagnetischen Kopplungskonstanten J und J s , beide ≥ 0:
|φ 15 〉 = β 1
(
−|0011〉 + |0110〉 − |1001〉 + |1100〉
)
+ β2
(
−|0101〉 + |1010〉
)
mit den zwei Amplituden β 1 and β 2 , gegeben durch
β 1 = ( 4 + (−J + 2J s + δ) 2 /(2J 2 ) ) −1/2
(2.80)
(2.81)
β 2 = ( 4 + (−J + 2J s + δ) 2 /(2J 2 ) ) 1/2 J/(2δ) (2.82)
und der verwendeten Abkürzung δ = (9J 2 − 4JJ s + 4J 2 s )1/2 (vgl. Anhang A).
Aus der Optimierung der Bell Ungleichungen ist bekannt, daß dieser Zustand die Bedingung
für eine 3- bzw. 4-Qubit Verschränkung erfüllt. Die Globalverschränkung Q ist
konstant (Q = 1), unabhängig von der Wahl der Parameter. Die Parameterabhängigkeit
der optimierten Ungleichungen ist im Verlauf mit der CKW Ungleichung vergleichbar. Die
Parameterabhängigkeit beider Maße ist in Abb. 2.6 als Funktion von J mit konstantem
J s = 2 bzw. als Funktion von J s mit konstantem J = 2 aufgetragen.
Die Berechnung der Luque/Thibon Invarianten liefert folgendes Ergebnis: