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78 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
die dazugehörigen Kovarianzen sind folglich Null:
Cov(x 1 ,x 3 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) = 0. (5.133)
Zwischen den Richtungen x 1 und x 3 , sowie zwischen x 2 und x 3 , existiert also keine Korrelation.
Dies stimmt mit der Verschränkungsstruktur überein. Die Betrachtung der Kovarianz
zwischen Richtung x 1 und x 2 liefert eine parameterabhängige Struktur:
Cov(x 1 ,x 2 ) = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) + ˜d 1
2
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ (5.134)
Diese Struktur ist gleich der Kovarianz des betrachteten 2-Qubit Beispielzustandes, vgl.
(5.101). Die Phasenabhängigkeit läßt sich durch Mittelung über alle Phaseneinstellungen
wegdiskutieren:
〈Cov(x 1 ,x 2 )〉 ϕ = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) (5.135)
Die Kovarianz zwischen x 1 und x 2 ist proportional zur quadrierten Concurrence zwischen
Qubit 1 und Qubit 2.
Der dreidimensionale Mittelwert liefert keine weitere Information, da er als Produkt aus
niederdimensionalen Erwartungswerten zusammengesetzt werden kann:
〈x 1 x 2 x 3 〉 = 〈x 1 x 2 〉〈x 3 〉 (5.136)
Allein aus der Produktstruktur der Erwartungswerte läßt sich die Verschränkungsstruktur
des Zustandes ableiten. Desweiteren kann sowohl mit der gemittelten Kovarianz als auch
den eindimensionalen Mittelwerten die Verschränkung gemessen werden.
3-Qubit Verschränkung: Der GHZ-Zustand ist der Prototyp Zustand der GHZ-Klasse:
|φ 0 〉 = γ|000〉 + e iϕ√ 1 − γ 2 |111〉 (5.137)
Im gesamten Bereich γ ∈]0,1[ ist der Zustand 3-Qubit verschränkt, mit einem Tangle
ungleich Null, τ = 4γ 2 (1 − γ 2 ). Der Zustand enthält keine 2-Qubit Verschränkung, die
Concurrences sind Null (vgl. Anhang A). Die Mittelwerte berechnen sich mit den oben
angegebenen allgemeinen Gleichungen zu:
〈x 1 〉 = 〈x 2 〉 = 〈x 3 〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1) (5.138)
〈x 1 x 2 〉 = 〈x 1 x 3 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = ˜c 1
2
(5.139)
〈x 1 x 2 x 3 〉 = ˜c 1
3 ( 2γ 2 − 1 ) + ˜d 1
3
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ (5.140)
Die eindimensionalen Mittelwerte sind gleich und entsprechen nach Zusammenhang (5.116)
den jeweiligen I-Concurrences. Die Restterme sind für diesen Zustand gleich Null. Die zweidimensionalen
Erwartungswerte 〈x i x j 〉 sind nicht parameterabhängig und entsprechen der
Konstanten ˜c 1 2 , die nur durch den QW bestimmt wird. Dies könnte auf einen Zusammenhang
mit den Concurrences hindeuten, die jeweils gleich Null sind. Eine mögliche
Korrelation kann durch Berechnung der Kovarianz bestimmt werden:
Cov(x i ,x j ) = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) (5.141)
Dies entspricht 〈x i x j 〉 ≠ 〈x i 〉〈x j 〉. Die Kovarianz ist unabhängig vom Phasenwinkel ϕ und
ist in der Form dem Tangle bzw. dem Global Entanglement, vgl (2.39) gleich. Ein direkter
Zusammenhang zwischen Kovarianz auf der einen Seite und Concurrence auf der anderen