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98 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Die eindimensionalen Mittelwerte ergeben sich zu:
〈x 1 〉 = 〈x 3 〉 = −˜c 1 (1 − 2ε 2 3 ) (5.280)
〈x 2 〉 = −˜c 1 (1 − 2ε 2 2) (5.281)
〈x 4 〉 = −˜c 1 (1 − 2ε 2 1 ) (5.282)
Mit obigen Gleichungen für die Spur der quadrierten reduzierten Dichtematrizen kann man
leicht den Zusammenhang (5.209) mit den jeweiligen I-Concurrences nachprüfen. Die Restterme
Rest xi sind gleich 0. Durch die Mittelwerte gelangt man zur I-Concurrence und somit
zur Globalverschränkung Q, welche nach (2.45) proportional zur Summe der quadrierten
Concurrences ist. Da der Zustand verallgemeinerte W-Form hat, ist zur vollständigen Charakterisierung
somit nur noch die Verteilung der 2-Qubit Verschränkungen anzugeben.
Die Berechnung der höherdimensionalen Erwartungswerte liefert:
〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 2 (ε 2 1 − ε2 2 ) + ˜d 1
2
2ε2 ε 3 (5.283)
〈x 1 x 3 〉 = ˜c 1 2 (ε 2 1 + ε2 2 − 2ε2 3 ) − ˜d 1
2
2ε
2
3 (5.284)
〈x 1 x 4 〉 = ˜c 1 2 (−ε 2 1 + ε 2 2) + ˜d 1
2
2ε1 ε 3 (5.285)
〈x 2 x 3 〉 = ˜c 1 2 (ε 2 1 − ε 2 2) − ˜d 1
2
2ε2 ε 3 (5.286)
〈x 2 x 4 〉 = ˜c 1 2 (−ε 2 1 − ε2 2 + 2ε2 3 ) + ˜d 1
2
2ε1 ε 2 (5.287)
〈x 3 x 4 〉 = ˜c 1 2 (−ε 2 1 + ε2 2 ) − ˜d 1
2
2ε1 ε 3 (5.288)
〈x 1 x 2 x 3 〉 = ˜c 1 3 (−ε 2 1 + ε2 2 + 2ε2 3 ) + ˜c 1 ˜d 1
2
2ε
2
3 (5.289)
〈x 1 x 2 x 4 〉 = ˜c 1 3 (ε 2 1 + ε 2 2) − ˜c 1 ˜d1
2
2(ε1 ε 2 + ε 1 ε 3 + ε 2 ε 3 ) (5.290)
〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 3 (ε 2 1 − ε 2 2 + 2ε 2 3) + ˜c 1 ˜d1
2
2ε
2
3 (5.291)
〈x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 3 (ε 2 1 + ε2 2 ) − ˜c 1 ˜d 1
2
2(ε1 ε 2 − ε 1 ε 3 − ε 2 ε 3 ) (5.292)
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = −˜c 1 4 + ˜c 1
2 ˜d1
2
2(ε1 ε 2 − ε 2 3 ) (5.293)
Ähnlich zur Diskussion des Zustandes |φ 15 〉 spiegelt sich die Gleichheit mancher Concurrences
nicht in der Gleichheit der Kovarianzen wieder. Der Unterschied ergibt sich durch
das Vorzeichen des ˜d 1
2
Anteiles der jeweiligen Kovarianzen. So sind die Concurrences C12
und C 23 gleich, die Kovarianzen unterscheiden sich aber:
ebenso C 14 und C 34 mit:
Die beiden anderen Kovarianzen berechnen sich zu:
Cov(x 1 ,x 2 ) = −˜c 1 2 4ε 2 2ε 2 3 + ˜d 1
2
2ε2 ε 3 (5.294)
Cov(x 2 ,x 3 ) = −˜c 1 2 4ε 2 2 ε2 3 − ˜d 1
2
2ε2 ε 3 , (5.295)
Cov(x 1 ,x 4 ) = −˜c 1 2 4ε 2 1ε 2 3 + ˜d 1
2
2ε1 ε 3 (5.296)
Cov(x 3 ,x 4 ) = −˜c 1 2 4ε 2 1ε 2 3 − ˜d 1
2
2ε1 ε 3 (5.297)
Cov(x 1 ,x 3 ) = −˜c 1 2 4ε 4 3 + ˜d 1
2
2ε
2
3 (5.298)
Cov(x 2 ,x 4 ) = −˜c 1 2 4ε 2 1ε 2 2 + ˜d 1
2
2ε1 ε 2 (5.299)