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70 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
5.2.3 Kovarianz und Korrelationen
Die Kovarianz ist definiert als:
Cov(x,y) = 〈(x − 〈x〉)(y − 〈y〉)〉 = 〈xy〉 − 〈x〉〈y〉 (5.94)
und ist ein Maß für eine Korrelation der beiden Ortsverteilungen x und y. Die Kovarianz
ergibt sich aus der Kombination der bereits abgeleiteten Erwartungswerte zu:
Cov(x,y) = ˜c 1
2 { (|α| 2 + |δ| 2 ) − (|β| 2 + |γ| 2 ) − (|α| 2 − |δ| 2 ) 2 + (|β| 2 − |γ| 2 ) 2} +
2
˜d { 1 (|α| 2 + |δ| 2 )(α ∗ δ + αδ ∗ ) + (|β| 2 + |γ| 2 )(β ∗ γ + βγ ∗ )−
}
γβ(α ∗2 + δ ∗2 )γ ∗ β ∗ (α 2 + δ 2 ) − αδ(β ∗2 + γ ∗2 )α ∗ δ ∗ (β 2 + γ 2 )
˜c 1 ˜d1
{2(|γ| 2 + |δ| 2 )(α ∗ β + αβ ∗ ) + 2(|β| 2 + |δ| 2 )(α ∗ γ + αγ ∗ )−
}
2(|α| 2 + |γ| 2 )(β ∗ δ + βδ ∗ ) − 2(|α| 2 + |β| 2 )(γ ∗ δ + γδ ∗ ) . (5.95)
Dieser Ausdruck läßt sich unter der Annahme reeller Parameter auf folgende Form bringen:
[
]
Cov(x,y) = 2(αδ − βγ) −(α − δ) 2 + (β + γ 2 ) + 2(α − δ)(β + γ) . (5.96)
Der erste Faktor entspricht genau der Darstellung der Concurrence, vgl. (2.11). Eine von
Null verschiedene Concurrence ist also eine notwendige Bedingung für eine endliche Kovarianz,
also einer Korrelation der x- und y-Richtung.
Der Korrelationskoeffizient (3.73), welcher einer normierten Kovarianz mit den jeweiligen
Standardabweichungen entspricht, wird hier nicht weiter untersucht. Eine mögliche
Parameterabhängigkeit würde bei der Normierung durch die Parameterabhängigkeit der
Mittelwerte verfälscht. Stattdessen wird nachstehend die Kovarianz untersucht, die mit
Potenzen von ˜c 1 auf die nötige Größe umsakliert wird.
5.2.4 Betrachtung eines Beispielzustandes
Die abgeleiteten Mittelwerte bzw. Verschränkungsrelationen sollen nun anhand eines 2-
Qubit Beispielzustandes diskutiert werden. Wie im einleitenden Kapitel über Verschränkungsmaße
bereits erörtert, existiert nur eine Verschränkungsart für 2-Qubit Zustände.
Der Prototyp dieser Verschränkungsklasse ist der EPR-Zustand. Die Verschränkung der
2-Qubit Zustände kann mit der Concurrence berechnet werden.
Der hier diskutierte Zustand ist eine parameterabhängige Verallgemeinerung des EPR-
Zustandes:
|φ 0 〉 = γ|00〉 + e iϕ√ 1 − γ 2 |11〉, (5.97)
mit γ ∈ [0,1] und einer allgemeinen Phase ϕ ∈ [0,2π]. Die Concurrence für diesen Zustand
berechnet sich nach Gleichung (2.11) zu:
C(|Φ 0 〉) = 2γ √ 1 − γ 2 , (5.98)
unabhängig vom Phasenwinkel ϕ. Die I-Concurrences IC 1−2 bzw. IC 2−1 sind im 2-Qubit
Fall gleich und entsprechen der Concurrence.
Die eindimensionalen Erwartungswerte ergeben sich mit den allgemeinen Beziehungen
(5.57) bzw. (5.60) zu:
〈x〉 = 〈y〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1). (5.99)