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64 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Nachstehend wird gezeigt, daß obige Matrix nach ausführen der Integration diagonal ist
und die Einträge auf der Hauptdiagonalen gleich sind.
Lemma 3. ∫ π
−π dk (c 2 − c ∗ 2 ) = 0
Beweis.
Mit der Identität:
∫ π
−π
dk c 2 − c ∗ 2 =
∫ π
−π
dk (a ∗ a ′′ − aa ∗′′ ) + (bb ∗′′ − b ∗ b ′′ ) (5.36)
(a ∗ a ′ − aa ∗′ ) ′ = (a ∗′ a ′ + a ∗ a ′′ ) − (a ∗′ a ′ + a ∗′′ a) = a ∗ a ′′ − a ∗′′ a (5.37)
(bb ∗′ − b ∗ b ′ ) ′ = (b ∗′ b ′ + b ∗′′ b) − (b ∗′ b ′ + b ∗ b ′′ ) = bb ∗′′ − b ∗ b ′′ (5.38)
läßt sich die Integration vereinfachen:
∫ π
−π
∫ π
dk c 2 − c ∗ 2 = dk { (a ∗ a ′ − aa ∗′ ) ′ + (bb ∗′ − b ∗ b ′ ) ′} . (5.39)
−π
Die beiden Teile kann man zusammenfassen:
mit
a ∗ a ′ − aa ∗′ = 2iIm(a ∗ a ′ ) bb ∗′ − b ∗ b ′ = 2iIm(bb ∗′ )
Im(a ∗ a ′ ) = t cos2 k sin k sin 2tθ
1 + cos 2 −
k 2(1 + cos 2 k) 3/2 (5.40)
Im(bb ∗′ ) = −
sin2 tθ
1 + cos 2 k . (5.41)
Die Integration ist also auf eine Auswertung der Teilfunktionen zurückgeführt:
∫ π
−π
[ ] π [ π
dk (c 2 − c ∗ 2) = 2i Im(a ∗ a ′ ) + 2i Im(bb )] ∗′ , (5.42)
−π −π
wobei beide Teile nach einsetzen Null ergeben.
Lemma 4. ∫ π
−π dk d 2 = 0
Beweis.
∫ π
−π
Mit Umschreiben des Integranden:
dk d 2 =
∫ π
−π
dk (a ∗ b ′′ − a ∗′′ b) (5.43)
(a ∗ b ′ − a ∗′ b) ′ = (a ∗′ b ′ + a ∗ b ′′ ) − (a ∗′ b ′ + a ∗′′ b) = a ∗ b ′′ − a ∗′′ b (5.44)
läßt sich die Integration vereinfachen:
∫ π
−π
dk (a ∗ b ′′ − a ∗′′ b) =
∫ π
−π
dk (a ∗ b ′ − a ∗′ b) ′ = [ a ∗ b ′ − a ∗′ b ] π
−π . (5.45)
Dies ergibt ebenfalls Null, wie sich durch einsetzen der Grenzen überprüfen läßt.