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3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 37
Basis x y |00〉 |01〉 |10〉 |11〉
|00〉 + + + + + +
|01〉 + - + - + -
|10〉 - + + + - -
|11〉 - - + - - +
Tabelle 3.1: Anwendung des Shiftoperators und des Ĥ ⊗ Ĥ Operators auf die vier verschiedenen
2-Qubit Basiszustände. Auswertung wie folgt, z.B. linke Spalte, erste Zeile: Ist der
Coinzustand |00〉, so ist in x−Richtung und in y−Richtung jeweils +1 zu gehen. Der
Hadamard-Produkt Operator macht aus |00〉 ein plus |00〉 plus |01〉 plus |10〉 plus
”
|11〉“.
Nach Anwendung der oben definierten Hadamard- und Shiftoperatoren und der Projektion
auf die Coinbasis Zustände erhält man:
α(x,y,t) = 〈x,y,00|ψ(t)〉 = 1 (
α(x − 1,y − 1,t − 1) + β(x − 1,y − 1,t − 1)+
2
)
γ(x − 1,y − 1,t − 1) + δ(x − 1,y − 1,t − 1)
(3.64)
β(x,y,t) = 〈x,y,01|ψ(t)〉 = 1 (
α(x − 1,y + 1,t − 1) − β(x − 1,y + 1,t − 1)+
2
)
γ(x − 1,y + 1,t − 1) − δ(x − 1,y + 1,t − 1)
(3.65)
γ(x,y,t) = 〈x,y,10|ψ(t)〉 = 1 (
α(x + 1,y − 1,t − 1) + β(x + 1,y − 1,t − 1)−
2
)
γ(x + 1,y − 1,t − 1) − δ(x + 1,y − 1,t − 1)
(3.66)
δ(x,y,t) = 〈x,y,11|ψ(t)〉 = 1 (
α(x + 1,y + 1,t − 1) − β(x + 1,y + 1,t − 1)−
2
)
γ(x + 1,y + 1,t − 1) + δ(x + 1,y + 1,t − 1)
(3.67)
Diese Schritte können mit Hilfe einer Tabelle leicht zusammengefaßt und übersichtlich dargestellt
werden (siehe Tabelle 3.1). Die tabellarische Form erleichtert die Herangehensweise
an höherdimensionale Modelle. Die Umsetzung in einem geeignetem Simulationsprogramm
ergibt sich direkt aus der Tabelle.
Die Wahrscheinlichkeit, den Walker am Ort (x,y) zum Zeitpunkt t zu finden, ergibt sich
zu:
P(x,y,t) = |α(x,y,t)| 2 + |β(x,y,t)| 2 + |γ(x,y,t)| 2 + |δ(x,y,t)| 2 . (3.68)
Für die Charakterisierung solch einer zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung
existieren mehrere Möglichkeiten, vgl. z.B. [97]. Die Mittelwerte in x- bzw. y- Richtung
ergeben sich durch Aufsummation der jeweils anderen Richtung:
µ x (t) ≡ 〈x〉 t = ∑ x
x ∑ y
P(x,y,t)
µ y (t) ≡ 〈y〉 t = ∑ y
y ∑ x
P(x,y,t), (3.69)