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60 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
5.1 Berechnungen zur Hadamard Entwicklung
5.1.1 Fouriertransformation und Zeitentwicklung
Durch die Vorarbeiten von Nayak und Vishwanath [90] und Brun et al. [25] kann die exakte
Zeitentwicklung des Hadamard Walks berechnet werden. Mittels einer Fouriertransformation
erhält man die Darstellung des Hadamard Operators im k-Raum:
( )
H k = √ 1 e ik e ik
(5.1)
2 e −ik −e −ik
Die Berechnung der Eigenwerte ergibt:
λ 1,2 = √ 1 (± √ )
1 + cos 2 k + isin k
2
(5.2)
Ziel ist die Berechnung der Zeitentwicklung Hk t . Die t-malige Matrixmultiplikation läßt
sich umgehen. Mit einer Ähnlichkeitstransformation kann die Matrix zerlegt werden. Mit
und
( )
c
T = + c −
1 1
ergibt sich folgende Zerlegung:
und T −1 =
( )
1 1 −c −
c + − c − −1 c +
(5.3)
c ± = e ik (cos k ± √ 1 + cos 2 k) (5.4)
( )
Hk t = T λ t 1 0
T −1 . (5.5)
0 λ t 2
Die Matrixmultiplikation reduziert sich somit auf t−maliges Potenzieren der Eigenwerte.
Nun werden die Elemente dieser Matrix berechnet:
(
) ( )
Hk t = 1 c + λ t 1 − c −λ t 2 −c + c − (λ t 1 − λt 2 ) a
c + − c − λ t 1 − λt 2 −λ t 1 c − + λ t 2 c := 11 a 12
(5.6)
+ a 21 a 22
Um die Zeitentwicklung der Eigenwerte λ 1,2 zu berechnen, geht man in die Exponentialdarstellung
über. Aufgrund des Vorzeichenwechsels im Imaginärteil, bei einer Intgration
zwischen −π und π, muß man eine Fallunterscheidung machen. Für k ∈ [0,π] ergibt sich:
√
1 + cos
θ 1 = arccos
2 k
⇒ λ t 1 = e itθ 1
(5.7)
2
θ 2 = arccos ( √
1 + cos
−
2 k) = π − θ1 ⇒ λ t 2 = e iπt e −itθ 1
= (−1) t e −itθ 1
(5.8)
2
und für k ∈ [−π,0[ erhält man:
√
1 + cos
θ 1 = − arccos
2 k
⇒ λ t 1 = e itθ 1
(5.9)
2
θ 2 = − arccos ( √
1 + cos
−
2 k) = −π − θ1 ⇒ λ t 2 = e −iπt e −itθ 1
= (−1) t e −itθ 1
. (5.10)
2