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84 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
mit ζ 1 → 0 und ζ 2 → 1. Die Concurrences C 12 und C 23 sind gleich und verschieden von
C 13 . Die genaue Darstellung der Concurrences als Funktion von ∆ ist kompliziert.(Eine
explizite Diskussion der Verschränkung des Zustandes befindet sich in Anhang A.) Es ist
aber möglich das Tangle mit der Hyperdeterminanten zu berechnen und somit als Funktion
der ζ i zu schreiben:
τ(|ψ 78 〉) = ∣ ζ
4
2 − 4ζ1 2 ζ2 ∣
2 . (5.171)
Die Frage, die sich bei Betrachtung der Erwartungswerte diese Zustandes stellt, ist die
nach der 3-Qubit Verschränkung. Ist es möglich, aus den vorhandenen Erwartungswerten
die Form des Tangles abzuleiten? Wie bei der obigen Diskussion des Zustandes |ψ 6 〉 gesehen,
steckt die Information über die Verschränkung sowohl in den zweidimensionalen
Erwartunsgwerten bzw. den Kovarianzen als auch im dreidimensionalen Erwartungswert.
Eine Kombination dieser müßte also den Parameterverlauf des Tangles liefern.
Die Berechnung der Ortserwartungswerte des QW mit |ψ 78 〉 als Coin Startzustand ergibt:
〈x 1 〉 = 〈x 3 〉 = ˜d 1 2ζ 1 ζ 2 (5.172)
〈x 2 〉 = ˜d 1 2ζ 2 1 (5.173)
〈x 1 x 2 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = −˜c 1 2 ζ 2 2 + ˜d 1
2
2ζ1 ζ 2 (5.174)
〈x 1 x 3 〉 = ˜c 1 2 (−2ζ 2 1 + ζ2 2 ) + ˜d 1
2
2ζ
2
1 (5.175)
〈x 1 x 2 x 3 〉 = − ˜d 1
3
(2ζ
2
1 + ζ 2 2 ) − ˜c 1 2 ˜d1 2(ζ 2 1 + 2ζ 1ζ 2 ). (5.176)
Mit der Darstellung der quadrierten I-Concurrences als Funktion der ζ i :
IC 2 1−23 = IC2 3−12 = 1 − 4 η 2 = 1 − (2ζ 1ζ 2 ) 2 (5.177)
IC 2 2−13 = 1 − 16
η 2 χ 2 = 1 − 4ζ2 1, (5.178)
kann man den Zusammenhang (5.116) leicht nachvollziehen. Die Restterme Rest xi sind
gleich Null. Die Berechnung der Kovarianzen liefert:
Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) = −˜c 1 2 ζ 2 2 + ˜d 1
2
2ζ1 ζ 2 (1 − 2ζ 2 1 ) (5.179)
Cov(x 1 ,x 3 ) = ˜c 1 2 (−2ζ 2 1 + ζ 2 2) + ˜d 1
2
2ζ
2
1 (1 − 2ζ 2 2). (5.180)
In Abb. 5.10 sind die zwei- und dreidimensionalen Erwartungswerte sowie die Kovarianzen
als Funktion von ∆ aufgetragen. Da die direkte Darstellung der Concurrences kompliziert
ist, wird der Einfachkeit halber, die Beziehung zu den Kovarianzen nur graphisch verglichen.
Die Concurrences C ij zeigen mehrere markante Punkte, vgl. Abb. A.1 in Anhang A.
Für ∆ = 2 ist C 13 gleich Null. Bei ∆ = 3 hat C 13 ein Maximum und geht mit ∆ → ∞ gegen
Null. C 12 bzw. C 23 zeigen ebenfalls ein Maximum bei ∆ = 3 und werden im Limes ∆ → ∞
ebenso Null. Für ∆ = 1 sind alle Concurrences gleich. Die Kovarianzen Cov(x 1 ,x 2 ) und
Cov(x 2 ,x 3 ) sind gleich, verschieden von Cov(x 1 ,x 3 ). Nur das Minimum bei ∆ = 2 erkennt
man bei |Cov(x 1 ,x 3 )|. Alle anderen Eigenschaften der Concurrences werden nicht durch
die Kovarianzen wiedergegeben.
Der Zustand enthält neben den 2-Qubit Verschränkungen, eine durch das Tangle charakterisierte
3-Qubit Verschränkung. Wie am Beispiel des GHZ-Zustandes gesehen, kann
die Information über die 3-Qubit Verschränkung in den Kovarianzen stecken. Zieht man
weiterhin die Ergebnisse der Diskussion des Zustandes |ψ 6 〉 in Betracht, so ist die Information
einer 2-Qubit Verschränkung, sowohl in den zwei-, als auch in den dreidimensionalen