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44 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle 260 120 250 240 100 230 220 80 〈n〉 210 σ 60 200 190 40 180 170 20 160 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ Abbildung 3.7: Mittelwert und Standardabweichung des Stroboskopischen Walks als Funktion von τ (g = 420; t = 200). Numerische Simulation mit (|0〉 + i|1〉)/ √ 2 als Coin Startzustand. die bereits von Carneiro et al. [28] im Zusammenhang mit QW Modellen verwendet wird. Die λ j sind die Eigenwerte der reduzierten Dichtematrix des Coins zum Zeitpunkt t, wobei der Gitterfreiheitsgrad rausgespurt wird. Trägt man die Zeitabhängigkeit der Verschränkung E C (t) für verschiedene τ Parameter auf und vergleicht mit der Zeitentwicklung der Standardabweichung des Ortes, wie in Abb. 3.9 dargestellt, so erkennt man einen direkten Zusammenhang. Wie es scheint, kann die Standardabweichung als Maß einer Coin-Gitter Verschränkung verwendet werden. Um dieses Modell genauer zu analysiern, kann man mit dem Ansatz zur Fouriertransformation nach Nayak and Vishwanath [90] das Problem angehen. Über die Transformation in den k-Raum: ˜ψ(k,t) = ∑ ψ(n,t)e ikn (3.99) n kann die Entwicklung der Wellenfunktion für einen Zeitschritt berechnet werden: { M + ψ(n − 1,t)e −iπτ(n−1/2) + M − ψ(n + 1,t)e −iπτ(n+3/2)} e ikn ˜ψ(k,t + 1) = ∑ n = ∑ n {M + ψ(n − 1,t)e ikn−iπτn+iπτ1/2 + M − ψ(n + 1,t)e ikn−iπτn−iπτ3/2} =⇒ ˜ψ(k,t + 1) = e −i π 2 τ ( e ik ∑ n {M + ψ(n − 1,t)e i(k−πτ)(n−1)} + e −ik ∑ n { M − ψ(n + 1,t)e i(k−πτ)(n+1)}) , (3.100) wobei ikn − iπτn + iπτ1/2 = i(n − 1)(k − πτ) + ik − iπτ1/2 (3.101) ikn − iπτn − iπτ3/2 = i(n + 1)(k − πτ) − ik − iπτ1/2 (3.102) verwendet wurde. Daraus folgt der Zusammenhang zwischen den Zuständen zu den Zeitpunkten t und t + 1: ˜ψ(k,t ( ) + 1) = e −i π 2 τ e ik M + + e −ik M − ˜ψ(k − πτ,t). (3.103) } {{ } :=Û k
3.4 Nichtlineare 1D Modelle 45 300 300 250 200 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 250 200 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Gitter Gitter 150 150 100 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Zeit Zeit 300 300 250 200 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 250 200 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 Gitter Gitter 150 150 100 100 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Zeit Zeit Abbildung 3.8: Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen eines Stroboskopischen QW für verschiedene τ. (Beginnend oben links nach unten rechts: τ = 0.01, 0.02, 0.04, 0.08). Der Walk wurde mit g = 420 bis t = 200 für den Coin Startzustand (|0〉+i|1〉)/ √ 2 numerisch simuliert.
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Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114:
107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116:
Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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