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82 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle 20 15 = 10 〈xi〉 5 0 -5 0 2 4 6 8 10 ∆ Abbildung 5.8: Mittelwerte 〈x i 〉 des Zustandes |ψ 6 〉 als Funktion von ∆. Die numerischen Punkte sind mit der jeweiligen analytischen Lösung angepaßt, wobei ˜c 1 als Fitparameter angenommen wurde. Das Ergebnis A 0 = 14.235 stimmt für die numerischen Werte mit der analytischen Rechnung überein. Der QW wurde mit g = 110 und t = 55 simuliert. 200 100 〈xixj〉,Cov(xi,xj) 0 -100 -200 -300 Cov(x 1 ,x 2 ) Cov(x 1 ,x 3 ) /c -400 0 2 4 6 8 10 ∆ Abbildung 5.9: Kovarianzen und höherdimensionale Erwartungswerte des Zustandes |ψ 6 〉 als Funktion von ∆. Der QW wurde mit g = 110 und t = 55 simuliert.
5.3 Dreidimensionaler QW 83 wobei der Limes großer Zeiten angenommen wurde. Ebenso läßt sich der dreidimensionale Erwartungswert als Funktion der Concurrences schreiben: 〈x 1 x 2 x 3 〉 = −˜c 1 2 + ˜c 1 ˜d1 2 (C13 − 2C 12 ) (5.164) Mit einer künstlichen Aufspaltung, da C 12 = C 23 , erhält man eine Darstellung von 〈x 1 x 2 x 3 〉 als Funktion aller Concurrences: 〈x 1 x 2 x 3 〉 = −˜c 1 2 + ˜c 1 ˜d1 2 (C13 − C 12 − C 23 ) (5.165) Betrachtet man nun den Spezialfall großer ∆, d.h. κ 1 → 1/ √ 2 und κ 2 → 0, so verschwinden die Concurrences zwischen den Qubits 1 und 2 und zwischen den Qubits 2 und 3, C 12 = C 23 → 0. Diese Verhalten kann man an den Erwartungswerten bzw. Kovarianzen ebenfalls beobachten: 〈x 1 x 2 〉 = 〈x 2 x 3 〉 → 0, Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) → 0 (5.166) Die Concurrence C 13 wird aber maximal. Der dazugehörige Erwartungswert bzw. die Kovarianz zeigen aber nicht dieses Verhalten: 〈x 1 x 3 〉 → −˜c 1 2 + ˜d 1 2 , Cov(x1 ,x 3 ) → −˜c 1 2 + ˜d 1 2 (5.167) Die Summe −˜c 1 2 + ˜d 1 2 würde im Limes großer Zeiten gegen 0 gehen. Ein minimaler Unterschied zu den beiden anderen Kovarianzen wäre dennoch erkennbar. Für diesen Zustand läßt sich zusammenfassend folgendes sagen: • Die vorhandene Sturktur der 2-Qubit Verschränkungen kann herausgearbeitet werden, die Kovarianzen lassen sich in Termen der Concurrences schreiben. Man kann die Verschränkung aber nicht mit den Kovarianzen alleine messen, da sich C 13 und Cov(x 1 ,x 3 ) reziprok verhalten. • Der dreidimensionale Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 〉 läßt sich ebenfalls als alleinige Funktion der Concurences darstellen. Man kann also eine 3-Qubit Verschränkung ausschließen. • Mit den Ortskorrelationsfunktionen läßt sich die Verschränkung quantitativ bestimmen. 5.3.2.3 Superpositionszustand |ψ 78 〉 Der Zustand |ψ 78 〉 ergibt sich aus der Superposition zweier Eigenzustände der bereits angesprochenen Heisenbergkette (vgl. Anhang A): |ψ 78 〉 = √ 1 ) (ζ 1 |001〉 + ζ 2 |010〉 + ζ 1 |011〉 + ζ 1 |100〉 + ζ 2 |101〉 + ζ 1 |110〉 , (5.168) 2 mit ζ 1 = √ 2 √ η √ χ ζ 2 = √ χ √ 2 √ η (5.169) und χ und η in (5.148). Der Zustand hat bis auf ∆ = 3 ein Tangle ungleich Null, gehört also der GHZ-Klasse an. Im Limes ∆ → ∞ hat der Zustand GHZ-Form: |ψ 78 〉 ≈ √ 1 ) (|010〉 + |101〉 , (5.170) 2
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Verschränkungsstrukturen in multid
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung &
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Kapitel 1 Einführung & Motivation
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3 vergleichbar. Algorithmen aus der
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Kapitel 2 Verschränkungsmessung un
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2.2 Charakterisierung reiner 2- und
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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
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Kapitel 3 Diskrete Quantum Walk Mod
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3.1 Eindimensionale QW Modelle 27 0
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3.1 Eindimensionale QW Modelle 29 i
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