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5.2 Zweidimensionaler QW 67
Somit erhält man ebenfalls die Darstellung des y-Mittelwertes als Funktion der Amplituden
des Coin Startzustandes:
〈y〉 = ˜c 1 {|α| 2 + |γ| 2 − |β| 2 − |δ| 2 } + ˜d 1 {α ∗ β + γ ∗ δ + αβ ∗ + γδ ∗ } (5.60)
Die Berechnung des zweiten Momentes erfolgt ähnlich und erfordert die Auswertung des
Integrals:
〈x 2 〉 = − 1
(2π) 2
mit der verwendeten Abkürzung:
∫π
k x,k y=−π
Nach ausführen der k y Integration erhält man
(2)
dk x dk y 〈φ 0 | ˜H
k x
⊗ 11|φ 0 〉, (5.61)
˜H (2)
k x
:= (H † k x
) t d 2
dkx
2 Hk t x
. (5.62)
〈x 2 〉 = − 1 ∫ π
(2)
dk x 〈φ 0 | ˜H
2π
k x
⊗ 11|φ 0 〉 (5.63)
−π
Da der Operator, wie in den Lemmas (3) und (4) gezeigt, diagonal ist:
( ) ( )
˜H (2) c
k x
⊗ 11 = 2 0 1 0
⊗ , (5.64)
0 c 2 0 1
liefert die Auswertung des Integrals ein zweites Moment unabhängig vom Coin Startzustand:
〈x 2 〉 = ˜c 2 (5.65)
Die Startzustand Abhängigkeit der Varianz resultiert also aus der Abhängigkeit des Mittelwertes.
Zur Berechnung von 〈y 2 (2)
〉 benötigt man den Integranden 〈φ 0 |11 ⊗ ˜H
k y
|φ 0 〉 und
erhält ebenfalls:
〈y 2 〉 = ˜c 2 (5.66)
Die Berechnung des zweidimensionalen Erwartungswertes 〈xy〉 ist gleichbedeutend mit der
Auswertung des Integrals:
〈xy〉 =
i2
(2π) 2
∫π
k x,k y=−π
dk x dk y 〈φ 0 |
˜H
(1)
k x
⊗
˜H
(1)
k y
|φ 0 〉 (5.67)
Unter Benutzung der Hilfsbeziehungen (1) und (2) erhält man
{ }
2
〈xy〉 = ˜c 1 (|α| 2 + |δ| 2 ) − (|β| 2 + |γ| 2 ) + ˜d
2 { }
1 α ∗ δ + αδ ∗ + βγ ∗ + β ∗ γ
}
+ ˜c 1 ˜d1
{α ∗ β + αβ ∗ + α ∗ γ + αγ ∗ − βδ ∗ − β ∗ δ − γδ ∗ − γ ∗ δ
(5.68)
Dieser Ausdruck kann weiter vereinfacht werden. Wie oben gezeigt, sind im Limes großer
Zeiten t die Integrale ˜c 1 und ˜d 1 gleich und man erhält:
〈xy〉 ≃ |α + δ| 2 − |β − γ| 2 + (α − δ)(β ∗ + γ ∗ ) + (α ∗ + δ ∗ )(β − γ) (5.69)