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26 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle H = H P ⊗ H C . Die g-dimensionalen Basisvektoren des Ortsraumes werden mit {|x〉} bezeichnet, die zweidimensionale Basis des Coinraumes mit |0〉 und |1〉. Die Bewegung des Systems erfolgt nun nach einem festgelegtem Muster in zwei Schritten. Zuerst wird die Münze geworfen, d.h. die Anwendung eines Coinoperators Ĉ. Danach erfolgt die Bewegung auf dem Gitter, in Abhängigkeit des Wurfergebnisses, mittels eines Bewegungsoperators Ŝ (Shiftoperator). Diese beiden Operationen definieren einen Zeitschritt. Der Gesamtzustand nach t Zeitschritten ergibt sich zu: |ψ(t)〉 = (Ŝ }{{} Ĉ ) t |ψ(t 0 )〉 = Êt |ψ(t 0 )〉, (3.2) :=Ê mit |ψ(t 0 )〉 =: |ψ(t = 0)〉. Beide Operatoren sind folgendermaßen aufgebaut. Der Coinoperator Ĉ ist das Produkt eines Würfeloperators im Coinraum und eines Einsoperators im Ortsraum 11 P . Als Standard Würfeloperator dient der Hadamardoperator Ĥ: Er ist durch seine Wirkung auf die Coinbasis |0〉, |1〉 definiert: Ĉ = 11 P ⊗ Ĥ. (3.3) Ĥ|0〉 = 1 √ 2 (|0〉 + |1〉) Ĥ|1〉 = 1 √ 2 (|0〉 − |1〉). (3.4) Ordnet man dieser Basis entsprechende Vektoren zu: ( ( 1 0 |0〉 = , |1〉 = , (3.5) 0) 1) so erhält man die Standardform des Hadamardoperators: ( ) Ĥ = √ 1 1 1 . (3.6) 2 1 −1 Die coinabhängige Bewegung auf dem Gitter wird durch den Shiftoperator Ŝ erzeugt: Ŝ = ∑ x |x + 1〉〈x| ⊗ |0〉〈0| + ∑ x |x − 1〉〈x| ⊗ |1〉〈1| (3.7) = Ŝ+1 ⊗ |0〉〈0| + Ŝ−1 ⊗ |1〉〈1|, (3.8) mit der abkürzenden Schreibweise für die einzelnen Bewegungsrichtungen: Ŝ +1 := ∑ x |x + 1〉〈x| Ŝ −1 := ∑ x |x − 1〉〈x| (3.9) Aufgrund der Verwendung des Hadamardoperators wird dieses QW Modell auch als Hadamard Walk bezeichnet. Der Zustand zum Zeitpunkt t 0 ist aus einem Anteil im Ortsraum und einem Anteil im Coinraum aufgebaut: |ψ(t 0 )〉 = |x 0 〉 ⊗ |ψ C (t 0 )〉. (3.10) Im Normalfall startet der Walker auf einer lokalisierten Position im Ortsraum. In den Arbeiten von Abal et al. [1,2] wird näher auf nichtlokalisierte Startzustände im Ortsraum eingegangen. Die Dynamik des Quantum Walk ist am besten graphisch darstellbar. Dazu betrachtet
3.1 Eindimensionale QW Modelle 27 0.1 P(x) 0.05 0 40 80 120 160 200 x Abbildung 3.1: Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen eines klassischen (gestrichelte Linie) und eines Quantum Walks nach t = 100 Zeitschritten. Der Coin Startzustand ist (|0〉 + |1〉)/ √ 2. Die Gittergröße ist g = 240 und der Startpunkt im Ortsraum 120. Im Quantenfall sind nur die Wahrscheinlichkeiten an geraden Punkten aufgetragen, da die ungeraden nicht besetzt sind. 0.15 0.1 P(x) 0.05 0 40 80 120 160 200 x Abbildung 3.2: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(x) für einen Quantum Walk mit unterschiedlichen Coin Startzuständen, |0〉 (gestrichelte Linie) und |1〉 (durchgezogene Linie), nach t = 100 Zeitschritten. Die Gittergröße ist g = 240 und der Startpunkt im Ortsraum 120. Im Quantenfall sind nur die Wahrscheinlichkeiten an geraden Punkten aufgetragen.
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100 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung un
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102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung a
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Anhang A Charakterisierung der 3- u
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107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
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Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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