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5.3 Dreidimensionaler QW 77
und die Darstellung in Abhängigkeit der α i des Coin Startzustandes:
{
3
〈x 1 x 2 x 3 〉 = ˜c 1 |α 1 | 2 − |α 2 | 2 − |α 3 | 2 + |α 4 | 2 − |α 5 | 2 + |α 6 | 2 + |α 7 | 2 − |α 8 | 2} +
3
˜d { (
1 α1 α ∗ 8 + α 2 α ∗ 7 + α 3 α ∗ 6 + α 4 α ∗ ) }
5 + c.c. +
˜c 1 ˜d1
2 { (
α1 α ∗ 4 + α 1α ∗ 6 + α 1α ∗ 7 + α 2α ∗ 3 + α 2α ∗ 5 + α 3α ∗ 5)
−
(
α2 α ∗ 8 + α 3 α ∗ 8 + α 4 α ∗ 6 + α 4 α ∗ 7 + α 5 α ∗ 8 + α 6 α ∗ 7)
+ c.c
}
+
˜c 1
2 ˜d1
{ (α1
α ∗ 2 + α 1 α ∗ 3 + α 1 α ∗ 5 + α 4 α ∗ 8 + α 6 α ∗ 8 + α 7 α ∗ 8)
−
(
α2 α ∗ 4 + α 2 α ∗ 6 + α 3 α ∗ 4 + α 3 α ∗ 7 + α 5 α ∗ 6 + α 5 α ∗ 7)
+ c.c
}
. (5.124)
Hierbei entspricht c.c. dem konjugiert komplexen Anteil der jeweilgen Elemente pro geschweifter
Klammer.
5.3.2 Betrachtung der Beispielzustände
Im folgenden werden die Ortserwartungswerte für bestimmte Coin Startzustände berechnet,
die beispielhaft für die Klassenstruktur der 3-Qubit Zustände gewählt wurden und
somit allgemeinen Charakter haben.
5.3.2.1 Parameterabhängige GHZ Zustände
2-Qubit Verschränkung: Zur Vereinfachung kann man einen 3-Qubit Zustand konstruieren,
der nur eine Verschränkung zwischen Qubit 1 und Qubit 2 enthält:
γ|000〉 + e iϕ√ (
1 − γ 2 |110〉 = γ|00〉 + e iϕ√ )
1 − γ 2 |11〉 ⊗ |0〉, (5.125)
mit γ ∈ [0,1] und ϕ ∈ [0,2π]. Mit der Concurrence C 12 zwischen Qubit 1 und 2, sowie den
I-Concurrences IC 1 und IC 2 , ist es möglich diese Verschränkung zu messen:
C 12 = 2γ √ 1 − γ 2 IC 1 = IC 2 = 2γ √ 1 − γ 2 . (5.126)
Die Concurrence zwischen den anderen Qubit Paaren ist Null, C 23 = C 13 = 0, ebenso die
I-Concurrence IC 3 = 0. Die Auswertung der Mittelwerte liefert folgende Ergebnisse:
〈x 1 〉 = 〈x 2 〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1) (5.127)
〈x 3 〉 = ˜c 1 (5.128)
〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 2 + ˜d 1
2
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ (5.129)
〈x 1 x 3 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = ˜c 1 2 (2γ 2 − 1) (5.130)
〈x 1 x 2 x 3 〉 = ˜c 1 3 + ˜c 1 ˜d1
2
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ (5.131)
Die eindimensionalen Mittelwerte 〈x 1 〉 und 〈x 2 〉 sind proportional zu den jeweiligen I-
Concurrences, es gilt der Zusammenhang (5.116). Der Mittelwert bezogen auf die x 3 -
Richtung, also das dritte Qubit, 〈x 3 〉, ist unabhängig vom Startzustand und liefert einen
konstanten Beitrag. Die Betrachtung der zweidimensionalen Erwartungswerte liefert ebenfalls
Hinweise auf die Verschränkungsstruktur. Die Mittelwerte 〈x 1 x 3 〉 sowie 〈x 2 x 3 〉 können
als Produkt der eindimensionalen Mittelwerte geschrieben werden:
〈x 1 x 3 〉 = 〈x 1 〉〈x 3 〉 〈x 2 x 3 〉 = 〈x 2 〉〈x 3 〉, (5.132)