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90 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Die Auswertung liefert:
{
2
〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 |α 1 | 2 + |α 2 | 2 + |α 3 | 2 + |α 4 | 2 − |α 5 | 2 − |α 6 | 2 − |α 7 | 2 − |α 8 | 2 −
|α 9 | 2 + |α 10 | 2 + |α 11 | 2 + |α 12 | 2 + |α 13 | 2 + |α 14 | 2 + |α 15 | 2 + |α 16 | 2}
+ ˜d
2 { }
1 α 1 α ∗ 13 + α 2 α ∗ 14 + α 3 α ∗ 15 + α 4 α ∗ 16 + α 5 α ∗ 9 + α 6 α ∗ 10 + α 7 α ∗ 11 + α 8 α ∗ 12 + c.c. +
˜c 1 ˜d1
{α 1 α ∗ 5 + α 1α ∗ 9 + α 2α ∗ 6 + α 2α ∗ 10 + α 3α ∗ 7 + α 3α ∗ 11 + α 4α ∗ 8 + α 4α ∗ 12 −
α 5 α ∗ 13 − α 6α ∗ 14 − α 7α ∗ 15 − α 8α ∗ 16 − α 9α ∗ 13 − α 10α ∗ 14 − α 11α ∗ 15 − α 12α ∗ 16 + c.c. }
(5.211)
Verwendet man wieder die Schreibweise R (12)
ij
:= (ρ 12 ) ij für die Komponenten der reduzierten
Dichtematrix, so erhält man die gleiche Form wie im dreidimensionalen Fall, vgl
(5.121):
{ }
2
〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 R (12)
11 − R (12)
22 − R (12)
33 + R (12)
44 + ˜d
2 { }
1 R (12)
14 + R (12)
41 + R (12)
23 + R (12)
32 +
{
}
˜c 1 ˜d1 R (12)
12 + R (12)
21 + R (12)
13 + R (12)
31 − R (12)
24 − R (12)
42 − R (12)
34 − R (12)
43 (5.212)
In Anhang B befindet sich die exakte Darstellung der Mittelwerte 〈x 1 x 3 〉, 〈x 1 x 4 〉, 〈x 2 x 3 〉,
〈x 2 x 4 〉 und 〈x 3 x 4 〉. Die Berechnung der drei- und vierdimensionalen Erwartungswerte erfolgt
über:
und
〈x 1 x 2 x 3 〉 = i3
(2π) 4
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = i4
(2π) 4
∫π
k x1 ,k x2 ,k x3 ,k x4 =−π
∫π
k x1 ,k x2 ,k x3 ,k x4 =−π
dk x1 dk x2 dk x3 dk x4 〈φ 0 |
˜H
(1)
k x1
⊗
˜H
(1)
k x2
⊗
˜H
(1)
k x3
⊗ 11|φ 0 〉
(5.213)
(1) (1) (1) (1)
dk x1 dk x2 dk x3 dk x4 〈φ 0 | ˜H
k x1
⊗ ˜H
k x2
⊗ ˜H
k x3
⊗ ˜H
k x3
|φ 0 〉.
(5.214)
Zur vollständigen Darstellung als Funktion der α i vgl. Anhang B. Diese Mittelwerte lassen
sich wieder in allgemeiner Darstellung in den Elementen der (reduzierten) Dichtematrizen
schreiben, was hier nicht explizit ausgefürt wird.
Zusammengefaßt können die Mittelwerte, unabhängig von der Anzahl der Raumdimensionen,
also folgendermaßen geschrieben werden:
〈x i 〉 = f 1 (R (i)
mn) (5.215)
〈x i x j 〉 = f 2 (R (ij)
mn ) (5.216)
〈x i x j x k 〉 = f 3 (R (ijk)
mn ) (5.217)
wobei die R mn, (x) die Elemente der auf das x−te Qubit bzw. Qubitgruppe reduzierten Dichtematrix
sind, also R mn (x) := (ρ x ) mn .
5.4.2 Betrachtung der Beispielzustände
Die im folgenden betrachteten Beispielzustände sind wie im 3-Qubit Fall aus verschiedenen
Verschränkungsklassen gewählt und haben somit allgemeinen Charakter. Wie in