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52 Kapitel 4 ⊗ Verschränkung in 1D QW Modellen
Der hier verwendete Würfeloperator entspricht (3.39) mit ρ = 1/2:
( )
Û = √ 1 1 i
. (4.4)
2 i 1
Die Shiftoperatoren Ŝ+1 ,Ŝ−1 wurden bereits in (3.7) bzw. (3.9) diskutiert. Die 11 P,C sind
Einheitsoperatoren im Orts- bzw. Coinraum. Durch einführen weiterer 11 C Operatoren ist
es möglich, das Schema beliebig zu erweitern.
4.2 Analytische Vereinfachung
Um die Ergebnisse auf analytischem Wege nachzuvollziehen, werden die bereits vorgestellten
Methoden von Nayak und Vishwanath [90] bzw. Brun et al. [25] verwendet. Eine Fourieranalyse
ermöglicht es, die Zeitentwicklung des Mittelwertes bzw. der Varianz soweit
zu bestimmen, daß die Zusammenhänge mit der bereits angesprochenen I-Concurrence
sichtbar werden.
Nach Ausführen der diskreten Fouriertransformation erhält man den U-Operator im k-
Raum:
( )
U k = √ 1 e ik ie ik
. (4.5)
2 ie −ik e −ik
Die Zeitentwicklung kann dann einfach durch eine Eigenwertzerlegung des U k -Operators
berechnet werden. Die Bestimmung der Eigenwerte liefert:
λ 1,2 = √ 1 √
(cos k ± i 1 + sin 2 k). (4.6)
2
Durch ausführen einer Ähnlichkeitstransformation mit:
( )
c
T = + c −
1 1
(4.7)
und c ± = e ik (sin k ± √ 1 + sin 2 k) kann man leicht das t-malige Matrixprodukt des U k -
Operators ausdrücken:
( ) t ( )
Uk t = T λ 1 0
T −1 a b
= , (4.8)
0 λ 2 −b ∗ a ∗
mit den verwendeten Abkürzungen:
sink
a = cos tθ + i√ 1 + sin 2 k sin tθ b = ie ik
√ sin tθ (4.9)
1 + sin 2 k
θ = arccos cos k √
2
(4.10)
und der Normierung |a| 2 + |b| 2 = 1.
Um die Verteilungsmomente im Ortsraum zu berechnen verwendet man Gleichung (3.27)
nach Brun et al. [25]:
∫ π
[
〈x m 〉 = im
dk 〈φ 0 |(U † d
m
]
2π
k )t −π dk m Ut k |φ 0 〉. (4.11)