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5.1 Berechnungen zur Hadamard Entwicklung 63
0
-5
-10
˜c1, ˜d1
-15
-20
-25
-30
0 20 40 60 80 100
t
Abbildung 5.1: Auswertung des Integrals ˜c 1 (Kreise) und des Integrals ˜d 1 (Quadrate) als Funktion
der Zeit. Die numerisch bestimmten Punkte sind mit den jeweiligen Näherungen
(5.25) bzw. (5.31) verglichen.
Daraus folgt für den Integranden:
a ∗ b ′ − a ∗′ b = iteik cos k
1 + cos 2 k + isin2 tθ isin k cos tθ sintθ
1 + cos 2 −
k (1 + cos 2 k) 3/2 (5.30)
Die weitere Auswertung mittels Computeralgebra System liefert:
˜d 1 ∼ − 1
2 √ 2 − (1 − 1 √
2
)t (5.31)
In Abb. 5.1 wird die numerische Auswertung der Gesamtintegrale ˜c 1 und ˜d 1 mit den
jeweiligen Näherungsrechnungen verglichen. Man erhält eine sehr gute Übereinstimmung.
Eine lineare Regression der numerischen Punkte liefert ein ähnliches Ergebnis:
˜c 1 ∼ 0.361 − 0.293t ˜d1 ∼ −0.350 − 0.293t (5.32)
Für sehr große Zeiten fallen die unterschiedlichen Ordinatenabschnitte zwischen ˜c 1 und ˜d 1
nicht mehr ins Gewicht, die Integrale sind ungefähr gleich:
5.1.2.2 Varianzen
˜c 1 ∼ ˜d 1 (5.33)
Zur Berechnung der zweiten Momente wird Gleichung (5.17) für m = 2 ausgewertet. Die
Berechung des Entwicklungsoperators liefert:
(
) ( )
(H † d 2
k )t dk 2 Ht k = a ∗ a ′′ + b(b ∗ ) ′′ a ∗ b ′′ − (a ∗ ) ′′ b c
:= 2 d 2
(5.34)
a ′′ b ∗ − a(b ∗ ) ′′ a(a ∗ ) ′′ + b ′′ b ∗ −d ∗ 2 c ∗ 2
Es werden folgende Abkürzungen eingeführt:
˜c 2 := − 1
2π
∫ π
−π
dk c 2
˜d2 := − 1
2π
∫ π
−π
dk d 2 . (5.35)