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92 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
3-Qubit Verschränkung: Bei der Betrachtung des folgenden Zustandes stößt man
schon an die Grenzen der Verschränkungsmessung. Der Zustand:
γ|0000〉 + e iϕ√ (
1 − γ 2 |1110〉 = γ|000〉 + e iϕ√ )
1 − γ 2 |111〉 ⊗ |0〉 (5.232)
ist als 3-Qubit GHZ-Zustand mit angehängtem vierten Qubit konstruiert. Für eine 3-Qubit
Verschränkung innerhalb eines 4-Qubit Zustandes existiert aber noch keine Möglichkeit
einer Quantifizierung. Mit den Erwartungswerten des QW läßt sich dennoch die Struktur
abbilden. Die Berechnung der Erwartungswerte liefert:
〈x 1 〉 = 〈x 2 〉 = 〈x 3 〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1) (5.233)
〈x 4 〉 = ˜c 1 (5.234)
〈x 1 x 2 〉 = 〈x 1 x 3 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = ˜c 1
2
(5.235)
〈x 1 x 4 〉 = 〈x 2 x 4 〉 = 〈x 3 x 4 〉 = ˜c 1 2 (2γ 2 − 1) (5.236)
〈x 1 x 2 x 3 〉 = ˜c 1 3 (2γ 2 − 1) + ˜d 1
3
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ (5.237)
〈x 1 x 2 x 4 〉 = 〈x 1 x 3 x 4 〉 = 〈x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
3
(5.238)
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 4 (2γ 2 − 1) + ˜c 1 ˜d1
3
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ (5.239)
Der Zusammenhang zwischen 〈x i 〉 und I-Concurrence ist klar, die Restterme verschwinden.
Die Erwartungswerte haben die gleiche Struktur wie im Falle des 3-Qubit GHZ-Zustandes.
Alle Erwartungswerte, die die x 4 Richtung enthalten, also das vierte Qubit abbilden,
können als Produkte niederdimensionaler Erwartungswerte geschrieben werden:
〈x 1 x 2 x 4 〉 = 〈x 1 x 2 〉〈x 4 〉, 〈x 1 x 3 x 4 〉 = 〈x 1 x 3 〉〈x 4 〉, 〈x 2 x 3 x 4 〉 = 〈x 2 x 3 〉〈x 4 〉 (5.240)
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = 〈x 1 x 2 x 3 〉〈x 4 〉. (5.241)
Die Kovarianzen aus Kombinationen der ersten drei Richtungen, also der ersten drei
Qubits, enthalten wie im 3-Qubit GHZ-Fall die vollständige Verschränkungsinformation:
Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 1 ,x 3 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) (5.242)
Cov(x 1 ,x 4 ) = Cov(x 2 ,x 4 ) = Cov(x 3 ,x 4 ) = 0. (5.243)
4-Qubit Verschränkung: Der 4-Qubit GHZ-Zustand:
γ|0000〉 + e iϕ√ 1 − γ 2 |1111〉 (5.244)
ist 4-Qubit verschränkt. Die Berechnung der Erwartungswerte ergibt:
〈x i 〉 = ˜c 1 (2γ 2 − 1) (5.245)
〈x i x j 〉 = ˜c 1
2
(5.246)
〈x i x j x k 〉 = ˜c 1 3 (2γ 2 − 1) (5.247)
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 4 + ˜d 1
4
2γ
√
1 − γ 2 cos ϕ. (5.248)
Die Erwartungswerte ergeben ein ähnliches Bild wie im 3-Qubit GHZ-Fall. Die eindimensionalen
Mittelwerte 〈x i 〉 stehen im funktionalen Zusammenhang (5.209) mit der quadrierten
I-Concurrence. Die Restterme verschwinden. Die zweidimensionalen 〈x i x j 〉 sind