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12 Kapitel 2 ⊗ Verschränkungsmessung und Polynomiale Invarianten folgende Kriterien für eine SLOCC Äquivalenz zum GHZ-Zustand: (α 1 α 8 − α 4 α 5 − α 2 α 7 + α 3 α 6 ) 2 − 4(α 2 α 5 − α 1 α 6 )(α 4 α 7 − α 3 α 8 ) ≠ 0 (2.32) (α 1 α 8 − α 3 α 6 − α 2 α 7 + α 4 α 5 ) 2 − 4(α 1 α 4 − α 2 α 3 )(α 5 α 8 − α 6 α 7 ) ≠ 0. (2.33) Für den W-Zustand gelten neben der Gleichheit von (2.32) und (2.33) nachstehende weitere Bedingungen: 2.2.6 3-Qubit Beispielzustände α 1 α 4 ≠ α 2 α 3 ∨ α 6 α 7 ≠ α 5 α 8 (2.34) α 2 α 5 ≠ α 1 α 6 ∨ α 4 α 7 ≠ α 3 α 8 (2.35) α 4 α 6 ≠ α 2 α 8 ∨ α 3 α 5 ≠ α 1 α 7 . (2.36) In [43] und [44] wurden die Eigenzustände einer 3-Qubit und einer 4-Qubit Heisenbergkette bezüglich der Verschränkung untersucht. Da somit die Verschränkungsstruktur genauestens bekannt ist, sollen diese Zustände hier als Beispielzustände dienen. Der Vorteil liegt in ihrer Parameterabhängigkeit. Bis dato wurden nur Prototypen, wie der GHZ-Zustand, untersucht. Bei Betrachtung der Parameterabhängigkeit der Verschränkung, fallen Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede verschiedener Charakterisierungsmöglichkeiten leichter ins Auge. Nachstehend sollen nun kurz die 3-Qubit Beispiele betrachtet werden. Die 4- Qubit Zustände werden im nächsten Unterkapitel eingehender untersucht. Eine kompakte Aufstellung der Ergebnisse befindet sich in Anhang A. Zur Charakterisierung eines reinen 3-Qubit Zustandes genügt es die Concurrences und das Tangle Maß zu berechnen, da damit die Verschränkungsstruktur des Zustandes schon vollständig erfaßt ist. Die Berechnung der Bell Maximierung dient im 3-Qubit Fall nur als Anschauung. Die Auswertung der Maße Globalverschränkung Q bzw. I-Concurrence ist zur Charakterisierung nicht notwendig, weil oben gezeigte Zusammenhänge gelten. Da nach der SLOCC Klassifizierung für 3-Qubit Zustände nur zwei relevante Klassen existieren, genügt es Zustände äquivalent zum GHZ- bzw. zum W-Zustand zu betrachten. Der parameterabhängige GHZ-Zustand, der hier mit |γGHZ〉 bezeichnet wird: |γGHZ〉 = γ|000〉 + √ 1 − γ 2 |111〉 (2.37) ist für γ ∈]0,1[ 3-Qubit verschränkt. Dies zeigt man daran, daß die Concurrences alle gleich Null sind: C 12 = C 13 = C 23 = 0 (2.38) und am Tangle Maß, welches für den gewählten Parameterbereich von Null verschieden ist: τ 123 = 4γ 2 (1 − γ 2 ). (2.39) Nach obigem Zusammenhang (2.16) ist für diesen Fall die Globalverschränkung gleich dem Tangle, Q = τ 123 . Die nächsten Zustände sind Eigenzustände einer 3-Spin 1/2 Heisenbergkette (vgl. Anhang A), mit einer Anisotropie ∆: |ψ 5 〉 = κ 1 |110〉 + κ 2 |101〉 + κ 1 |011〉 |ψ 6 〉 = κ 1 |001〉 + κ 2 |010〉 + κ 1 |100〉 (2.40) mit der Normierung 2κ 2 1 + κ2 2 = 1 und den verwendeten Abkürzungen √ χ κ 1 = 2 √ κ 2 = −√ 2 √ (2.41) η χ η
2.2 Charakterisierung reiner 2- und 3-Qubit Zustände 13 1 10 Q 0.8 0.6 0.4 0.2 5 0 0 2 4 6 8 10 4 ∆ Abbildung 2.3: Vergleich zwischen Globalverschränkung Q (linke y-Achse, durchgezogene Linie) und optimierter Bell Ungleichung (rechte y-Achse, schwarze Punkte) für die Zustände |ψ 5 〉, |ψ 6 〉 als Funktion des Parameters ∆. Die gestrichelte Linie gibt die untere Grenze der Bell Bedingung für eine 3-Qubit Verschränkung an (≥ 8). 9 8 7 6 Optimierte Bell Ungleichung 1 16 ∑ C ij;τ123;Q 0.8 14 0.6 12 0.4 10 0.2 0 0 2 4 6 8 10 8 ∆ Optimierte Bell Ungleichung Abbildung 2.4: Vergleich der verschiedenen Verschränkungsmaße für den Zustand |ψ 78 〉 als Funktion von ∆. Linke y-Achse: Globalverschränkung Q (gestrichelte Linie), Summe der quadrierten Concurrences (Linie mit Dreiecken) und Tangle (durchgezogene Linie). Rechte y-Achse: Optimierte Bell Ungleichungen (schwarze Punkte).
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100 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung un
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102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung a
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Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114:
107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116:
Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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