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34 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle
3.3 Mehrdimensionale QW Modelle
Dieser Abschnitt zeigt, wie man Quantum Walk Modelle auf mehrere räumliche Dimensionen
erweitern kann. Dem eindimensionalen Modell ähnlich, werden Rekursionsrelationen
für eine Computerumsetzung abgeleitet. Die analytische Berechnung der Mittelwerte
und höheren Momente wird durch eine Erweiterung der Gleichung nach Brun et al. [25]
ermöglicht. Zusätzlich zu den 1D Mittelwerten bzw. Varianzen können Ortskorrelationen
betrachtet werden, mit denen im Laufe der Arbeit die Verschränkungsstruktur des Coin
Startzustandes exakt beschrieben wird.
Die erste Diskussion höherdimensionaler QW Modelle ist in den Arbeiten von Mackay et
al. [81] und später Tregenna et al. [110] nachzulesen.
3.3.1 2D
Die Erweiterung des 1D Quantum Walks auf mehrere räumliche Dimensionen stellt keine
Hürde dar, weder numerisch noch algebraisch. Man definiert einen entsprechenden Würfeloperator
und legt fest in welche Richtung der Walker bewegt wird. Dies soll am Beispiel
des QW auf einem zweidimenisonalen Gitter detailliert nachvollzogen werden.
Der Hilbertraum des Gesamtsystems ist durch folgenden Produktraum gegeben:
H = H Px ⊗ H Py ⊗ H Cx ⊗ H Cy . (3.47)
Die Basisvektoren sind Produktzustände der zwei Ortsräume und der zwei Coinräume. Die
beiden Richtungen des Gitters werden mit x und y bezeichnet. Als Basis im Coinraum
nimmt man die binäre Basis mit den Zuständen |00〉, |01〉, |10〉, |11〉, z.B.:
|x〉 ⊗ |y〉 ⊗ |0〉 ⊗ |0〉 := |x,y,00〉. (3.48)
Der einfachste Coinoperator ist das Produkt zweier Hadamard Operatoren Ĥ = Ĥ1 ⊗ Ĥ2,
mit folgender Wirkung auf die Basiszustände:
Ĥ|x,y,00〉 = 1 (|x,y,00〉 + |x,y,01〉 + |x,y,10〉 + |x,y,11〉) (3.49)
2
Ĥ|x,y,01〉 = 1 (|x,y,00〉 − |x,y,01〉 + |x,y,10〉 − |x,y,11〉) (3.50)
2
Ĥ|x,y,10〉 = 1 (|x,y,00〉 + |x,y,01〉 − |x,y,10〉 − |x,y,11〉) (3.51)
2
Ĥ|x,y,11〉 = 1 (|x,y,00〉 − |x,y,01〉 − |x,y,10〉 + |x,y,11〉) . (3.52)
2
Die Bewegung auf dem Gitter erfolgt mittels Shiftoperator Ŝ:
Ŝ|x,y,00〉 = |x + 1,y + 1,00〉 Ŝ|x,y,01〉 = |x + 1,y − 1,01〉 (3.53)
Ŝ|x,y,10〉 = |x − 1,y + 1,10〉 Ŝ|x,y,11〉 = |x − 1,y − 1,11〉. (3.54)
Der Entwicklungsoperator Ê schreibt sich wie folgt:
( (S
+1
Ê = x
( (S
+1
y
⊗ |0 x 〉〈0 x | + S −1
x ⊗ |1 x 〉〈1 x | )( 11 x ⊗ Ĥ)) ⊗ (3.55)
⊗ |0 y 〉〈0 y | + S −1
y ⊗ |1 y 〉〈1 y | )( 11 y ⊗ Ĥ)) . (3.56)
Wie man erkennt, sind die Bewegungen in x- bzw. y-Richtung voneinander unabhängig.
Eine mögliche Korrelation beider Richtungen würde dann aus einer Korrelation des Startzustandes
resultieren. Natürlich ist es möglich anstatt des Produktes zweier Hadamard