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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Qubit Verschränkung 23
und α wie oben definiert. In Abb. 2.7a ist die Concurrence als Funktion des Parameters γ
aufgetragen. Die Berechnung der Luque/Thibon Invarianten liefert:
H = 1/2 (2.93)
L = M = N = 0 (2.94)
D xt = 1 4 γ2 (1 − 8γ 2 ) 2 (2.95)
S = 1
192 − 1 4 γ2 (1 − 8γ 2 ) 2 (2.96)
T = 1
13824 − γ2
192 + 7γ4
48 − 7γ6
3 + 24γ8 − 128γ 10 + 256γ 12 (2.97)
∆ = − 1
512 (6γ2 − 1)(24γ 2 − 1) 2 (8γ 3 − γ) 6 . (2.98)
Abb. 2.7b vergleicht die Parameterabhängigkeit der betrachteten Maße. Wieder zeigt sich,
daß der Verlauf der auf 1 normierten Invarianten √ S, der CKW Ungleichung und der optimierten
Bellungleichungen dieselbe Parameterabhängigkeit liefert. Für γ = 0 nimmt der
Zustand GHZ Form an, |G αγ 〉 = (|0000〉 + |1111〉)/ √ 2 und alle drei betrachteten Größen
haben ein Maximum. Auch die Minima bei γ = 1/2 √ 2 und die Maxima bei γ = 1/2 √ 6
stimmen gut überein.
Der Zustand |G αβγδ 〉 ist der Repräsentant der äußersten SLOCC Verschränkungsklasse
mit dem Kriterium ∆ ≠ 0. Auch für den speziell gewählten Zustand |G αγ 〉 ist die Hyperdeterminante
∆ verschieden von Null, mit Ausnahme von γ = 0, ±1/ √ 6, ±1/ √ 8, ±1/ √ 24.
Diese Maxima stimmen mit den Maxima bzw. Minima von √ S perfekt überein. Abb. 2.7c
beinhaltet ergänzend den Verlauf der Hyperdeterminanten ∆.
Die Kriterien nach Li et al. zur SLOCC Äquivalenz mit dem GHZ Zustand berechnen sich
zu:
−α 2 − 3γ 2 ≠ 0 ∧ α 2 γ 2 − γ 4 = 0. (2.99)
Für eine der Nullstellen von ∆, γ = 1/ √ 8, sind diese Bedingungen erfüllt.
2.3.3.4 Heisenberg Zustand |φ 14 〉
Zuletzt ein Zustand, dessen Verschränkungsstruktur mit vorhandenen Mitteln vollständig
zu erklären ist. Der Zustand
|φ 14 〉 = ǫ 1 |1110〉 + ǫ 2 |1011〉 + ǫ 3 |0111〉 − ǫ 3 |1101〉 (2.100)
mit ǫ 2 1 +ǫ2 2 +2ǫ2 3 = 1 ist ebenfalls Eigenzustand der oben erwähnten 4-Qubit Heisenbergkette
(vgl. Anhang A). Da er allgemeine W-Form (2.44) hat, stimmt die Globalverschränkung
Q mit der Summe der quadrierten Concurrences überein, vgl. (2.45). Der Zustand enthält
also nur 2-Qubit Verschränkungen. Die optimierten Bell Ungleichungen erfüllen nicht die
Bedingung einer 4-Qubit Verschränkung. Die genaue Darstellung der Maße befindet sich in
Anhang A. Die Luque/Thibon Invarianten sind für diesen Zustand alle gleich Null, liefern
also keine Information über die Verschränkungsstruktur.
Eine weitere interessante Beobachtung ergibt sich bei Betrachtung der Invarianten H.
Diese Invariante und die Ungleichung der Li et al. Kriterien für die SLOCC A¨quivalenz
zum GHZ-Zustand stimmen bei allen Beispielen, bis auf ein Minuszeichen, überein. Eine
von Null verschiedene Invariante ist somit ein Kriterium für die SLOCC Äquivalenz zum
GHZ-Zustand.