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74 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
ϕ aufgetragen. Die Phasenabhängigkeit wird gedämpft. Die numerischen Punkte aus der
Simulation für ϕ = 0 sind mit den Gleichungen, sowohl für die Concurrences, als auch die
quadrierte Concurrence angefittet. Beide Gleichungen reichen nicht aus um die Parameterabhängigkeit
von Cov(x,y) zu beschreiben. Trotzdem wird im direkten Vergleich eine
verbesserte Beschreibung der Verschränkung erzielt.
5.2.5 Diskussion
Die Verschränkungsstruktur eines 2-Qubit Zustandes kann also mittels Ortserwartungswerten
eines QW verstanden werden. Die Betrachtung der eindimensionalen Mittelwerte
〈x i 〉 liefert einen Zusammenhang mit der I-Concurrence. Diese entspricht im 2-Qubit Fall
der Concurrence, dem Maß einer 2-Qubit Verschränkung. Hat man Zustände in der Bell
Form vorliegen, so reichen die 〈x i 〉 alleine aus, da die Restterme gleich Null sind. Weiterhin
kann die Verschränkung mittels Kovarianz analysiert werden. Ein Phänomen, welches
dabei besonders zu berücksichtigen ist, ist eine Phasensensitivität der zweidimensionalen
Erwartungswerte 〈x i x j 〉 und folglich der Kovarianz. Eine Chance den Phaseneinfluß zu reduzieren,
besteht aus einer gemittelten Betrachtung aller möglichen Phaseneinstellungen.
5.3 Dreidimensionaler QW
In diesem Unterabschnitt wird der Einfluß eines 3-Qubit Coin Startzustandes |φ 0 〉 auf die
Ausbreitung eines dreidimensionalen QW untersucht. Ein allgemeiner Coin Startzustand
kann in der Standardbasis wie folgt dargestellt werden:
|φ 0 〉 =
8∑
α i |i〉 (5.104)
i=1
Ähnlich wie im 2-Qubit Fall werden nun die Erwartungswerte bezüglich ihrer Aussagekraft
über die Charakterisierung möglicher Verschränkungsstrukturen untersucht. Im 3-
Qubit Fall gibt es zwei Arten von Verschränkung, die zur Charakterisierung unterschieden
werden. Eine echte 3-Qubit Verschränkung, welche mit dem Tangle meßbar ist und
eine 2-Qubit Verschränkung, die durch die jeweiligen 2-Qubit Concurrences charakterisiert
wird. Diese beiden Arten der Verschränkung spiegeln sich auch in der Struktur der
Verschränkungsklassen wieder. Wie bereits diskutiert, werden die GHZ-Klasse und die W-
Klasse unterschieden. In die GHZ-Klasse fallen Zustände mit einem von Null verschiedenen
Tangle. Der Prototypzustand der GHZ-Klasse ist der GHZ-Zustand, der der W-Klasse der
W-Zustand. Die betrachteten Beispielzustände orientieren sich an dieser Klassifizierung.
5.3.1 Berechnung der Erwartungswerte
5.3.1.1 1D Mittelwerte und I-Concurrence
Die Berechnung der Erwartungswerte erfolgt wie im zweidimensionalen Fall durch eine
Erweiterung der Beziehung nach Brun et al. [25]. Die Berechnung des eindimensionalen
Erwartungswertes 〈x 1 〉 erfordert eine Auswertung des Integrals:
〈x 1 〉 = i
(2π) 3
∫π
k x1 ,k x2 ,k x3 =−π
dk x1 dk x2 dk x3 〈φ 0 | ˜H
(1)
k x1
⊗ 11 ⊗ 11|φ 0 〉, (5.105)