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3.2 Erweiterung des Coinraumes 31
zu finden. |x,0〉 ist eine Kurzschreibweise für |x〉 ⊗ |1〉. Die Wirkungen des Coinoperators
Ĉ und des Shiftoperators Ŝ auf diese Zustände lassen sich wie folgt darstellen:
Ĉ|x,0〉 = √ 1
)
(|x,0〉 + |x,1〉
2
Ĉ|x,1〉 = √ 1
)
(|x,0〉 − |x,1〉
2
(3.29)
Ŝ|x,0〉 = |x + 1,0〉 Ŝ|x,1〉 = |x − 1,0〉. (3.30)
Ein Schritt in der Zeitentwicklung ist dann, wie oben definiert, erst die Verwendung des
Coinoperators, gefolgt durch die Anwendung des Shiftoperators:
wobei |ψ(t − 1)〉 gegeben ist durch:
|ψ(t)〉 = ŜĈ|ψ(t − 1)〉, (3.31)
|ψ(t − 1)〉 = ∑ x
a(x,t − 1)|x,0〉 + b(x,t − 1)|x,1〉. (3.32)
Der Gebrauch der Operatoren liefert nun den Zustand zum Zeitpunkt t in Abhängigkeit
des Zustandes zum Zeitpunkt t − 1:
|ψ(t)〉 = √ 1 ∑{
a(x,t − 1)|x + 1,0〉 + a(x,t − 1)|x − 1,1〉+
2
x
}
b(x,t − 1)|x + 1,0〉 − b(x,t − 1)|x − 1,1〉
(3.33)
Die Rekursionsrelationen für die Amplituden a,b ergeben sich durch Projektion auf die
einzelnen Basiszustände:
a(x,t) = 〈x,0|ψ(t)〉 = √ 1 }
{a(x − 1,t − 1) + b(x − 1,t − 1) (3.34)
2
b(x,t) = 〈x,1|ψ(t)〉 = √ 1
}
{a(x + 1,t − 1) − b(x + 1,t − 1)
2
(3.35)
3.2 Erweiterung des Coinraumes
Eine mögliche Erweiterung des obigen Modells besteht aus der Ergänzung des Coinraumes
um mehrere Qubits. Der Gesamthilbertraum ist Produktraum aus Ortsraum und M
Coinräumen, H = H P ⊗ (H C ) ⊗M . Ein allgemeiner Entwicklungsoperator Ê würde wie
folgt ausschauen:
(Ŝ+1 )(
)
Ê = ⊗ 11 ⊗(M−1)
C
⊗ |0〉〈0| + Ŝ−1 ⊗ 11 ⊗(M−1)
C
⊗ |1〉〈1| 11 P ⊗ 11 ⊗(M−1)
C
⊗ Ĉ (3.36)
Die Entwicklung des Quantum Walks ist aber immer noch abhängig von einem Coin alleine,
d.h. nur ein einzelner Coin steuert die Bewegung auf dem Gitter.
Modelle mit dieser Erweiterung wurden in Arbeiten von Brun et al. [25] und Flitney et
al. [47] studiert. Erstere beschäftigte sich mit dem Übergang in den klassischen Bereich.
Durch Einsatz verschiedener Coinoperatoren können Interferenzeffekte reduziert werden.
In der Arbeit von Flitney et al. wurde die Umsetzung von Parrondo Spielen [57, 58, 85]
in Quantum Walk Modellen diskutiert. Der Parrondo Effekt ist dadurch charakterisiert,
daß aus der Kombination zweier Spiele mit negativem Erwartungswert, ein Spiel mit positivem
Erwartungswert gemacht werden kann. Durch die Erweiterung des Coinraumes