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5.1 Berechnungen zur Hadamard Entwicklung 65
3000
2500
2000
˜c2
1500
1000
500
0
0 20 40 60 80 100
t
Abbildung 5.2: Numerische Auswertung des Integrals ˜c 2 als Funktion der Zeit. Die numerischen
Punkte sind mit einer quadratischen Abhängigkeit gefittet, ˜c 2 = A 0 + A 1 t 2 , mit
A 0 = 0.534 und A 1 = 0.293
Nun zur Auswertung des Integrals ˜c 2 . Der Integrand läßt sich wie folgt vereinfachen:
c 2 = a ∗ a ′′ + bb ∗′′ = (a ∗ a ′ ) ′ − a ∗′ a ′ + (bb ∗′ ) ′ − b ′ b ∗′ = (a ∗ a ′ ) ′ + (bb ∗′ ) ′ − ( |a ′ | 2 + |b ′ | 2) . (5.46)
Die Integration über den ersten Teil vereinfacht sich mittels des Hauptsatzes der Integralrechnung,
wobei die Auswertung für die beiden Teilbereiche, k ≥ 0 bzw k < 0, mit einem
Computeralgebra System erfolgt ist:
− 1
2π
∫ π
−π
dk (a ∗ a ′ ) ′ + (bb ∗′ ) ′ = − 1 [a ∗ a ′ + bb ∗′] π
= 0. (5.47)
2π
−π
Für das zweite Integral erhält man näherungsweise den Ausdruck:
˜c 2 ∼ 3√ 2
8 + ( 1 − 1 √
2
)
t 2 . (5.48)
In Abb. 5.2 ist die numerische Auswertung des Integrals ˜c 2 als Funktion der Zeit aufgetragen.
Die numerischen Punkte sind mit einer quadratischen Abhängigkeit angefittet, mit
dem Ergebnis:
˜c 2 ∼ 0.534 + 0.293t 2 , (5.49)
welches sehr gut mit der Näherungsrechnung übereinstimmt.
Für große Zeiten t kann der Vorfaktor vernachlässigt werden. Dadurch werden die Integrale
˜c 1 und ˜c 2 vergleichbar:
˜c 2 1 ≃ (1 − √ 1 )˜c 2 . (5.50)
2