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40 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle Basis x 1 x 2 x 3 |000〉 |001〉 |010〉 |011〉 |100〉 |101〉 |110〉 |111〉 |1〉 := |000〉 + + + + + + + + + + + |2〉 := |001〉 + + - + - + - + - + - |3〉 := |010〉 + - + + + - - + + - - |4〉 := |011〉 + - - + - - + + - - + |5〉 := |100〉 - + + + + + + - - - - |6〉 := |101〉 - + - + - + - - + - + |7〉 := |110〉 - - + + + - - - - + + |8〉 := |111〉 - - - + - - + - + + - Tabelle 3.2: Anwendung des Shiftoperators Basiszustände. Ŝ und des Ĥ ⊗ Ĥ ⊗ Ĥ Operators auf die 3-Qubit einzelnen Amplituden |α j | 2 : P(x 1 ,x 2 ,x 3 ,t) = P(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,t) = 8∑ |α j (x 1 ,x 2 ,x 3 ,t)| 2 (3.87) j=1 16∑ j=1 |α j (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,t)| 2 . (3.88) Die eindimensionalen bzw. mehrdimensionalen Mittelwerte ergeben sich durch Summation über die jeweils anderen Richtungen, wie hier beispielsweise gezeigt: 〈x 1 〉 t = ∑ x 1 x 1 ∑ x 2 ,x 3 P(x 1 ,x 2 ,x 3 ,t). (3.89) Ebenso wie im zweidimensionalen Fall, lassen sich die Korrelationen zwischen zwei Raumrichtungen anhand der Kovarianzen berechnen: Cov(x i ,x j ) = 〈(x i − 〈x i 〉)(x j − 〈x j 〉)〉 (3.90) mit Cov(x i ,x j ) = Cov(x j ,x i ) und Cov(x i ,x i ) = σ 2 x i . Die Korrelationskoeffizienten berechnen sich äquivalent. Aus diesen Paarkovarianzen läßt sich die Kovarianzmatrix V ij = Cov(x i ,x j ) aufstellen. Eine charakteristische Größe ist die Determinante: Det(V ij ) = σ 2 x σ2 y σ2 z − Cov(x,y)2 σ 2 z − Cov(x,z)2 σ 2 y − Cov(y,z)2 σ 2 x + 2Cov(x,y)Cov(x,z)Cov(y,z). (3.91) Will man änhlich zum 2D Fall höhere Korrelationen betrachten, so kann man beispielsweise folgende Größe untersuchen: 〈(x 1 − 〈x 1 〉)(x 2 − 〈x 2 〉)(x 2 − 〈x 2 〉〉 = 〈x 1 x 2 x 3 〉 − 〈x 1 〉〈x 2 〉〈x 3 〉− 〈x 1 〉Cov(x 2 ,x 3 ) − 〈x 2 〉Cov(x 1 ,x 3 ) − 〈x 3 〉Cov(x 1 ,x 1 ), (3.92) die aber der Struktur der Kovarianz nur bedingt ähnelt. Höhere Korrelationen werden in der dem Autor bekannten Literatur nicht diskutiert.
3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 41 Basis x1 x2 x3 x4 |1〉 |2〉 |3〉 |4〉 |5〉 |6〉 |7〉 |8〉 |9〉 |10〉 |11〉 |12〉 |13〉 |14〉 |15〉 |16〉 |1〉 := |0000〉 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + |2〉 := |0001〉 + + + - + - + - + - + - + - + - + - + - |3〉 := |0010〉 + + - + + + - - + + - - + + - - + + - - |4〉 := |0011〉 + + - - + - - + + - - + + - - + + - - + |5〉 := |0100〉 + - + + + + + + - - - - + + + + - - - - |6〉 := |0101〉 + - + - + - + - - + - + + - + - - + - + |7〉 := |0110〉 + - - + + + - - - - + + + + - - - - + + |8〉 := |0111〉 + - - - + - - + - + + - + - - + - + + - |9〉 := |1000〉 - + + + + + + + + + + + - - - - - - - - |10〉 := |1001〉 - + + - + - + - + - + - - + - + - + - + |11〉 := |1010〉 - + - + + + - - + + - - - - + + - - + + |12〉 := |1011〉 - + - - + - - + + - - + - + + - - + + - |13〉 := |1100〉 - - + + + + + + - - - - - - - - + + + + |14〉 := |1101〉 - - + - + - + - - + - + - + - + + - + - |15〉 := |1110〉 - - - + + + - - - - + + - - + + + + - - |16〉 := |1111〉 - - - - + - - + - + + - - + + - + - - + Tabelle 3.3: Anwendung des Shiftoperators Ŝ und des Ĥ⊗4 Operators auf die 4-Qubit Basiszustände.
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90 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und
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100 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung un
Seite 108 und 109:
102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung a
Seite 111 und 112:
Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114:
107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116:
Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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