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62 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Nachstehend werden nun einige Zusammenhänge für die Elemente dieser Matrix gezeigt.
Lemma 1. c 1 = −c ∗ 1
Beweis.
c 1 + c ∗ 1 = a∗ a ′ + bb ′∗ + a ′∗ a + b ′ b ∗ = (aa ∗ ) ′ + (bb ∗ ) ′ = (|a| 2 + |b| 2 ) ′ = 0, (5.20)
da |a| 2 + |b| 2 = 1.
Lemma 2. ∫ π
−π dk (d 1 + d ∗ 1 ) = 0
Beweis.
∫ π
−π
dk d 1 + d ∗ 1 =
Dies führt auf den Integranden:
∫ π
−π
∫ π
dk 2Re(d 1 ) = 2 dk Re(a ∗ b ′ − (a ∗ ) ′ b) (5.21)
−π
Re(a ∗ b ′ − (a ∗ ) ′ t cos k sin k
b) = −
1 + cos 2 k + sin 2tθ
1 + cos 2 k) 3/2.
(5.22)
Da beide Teilintegranden ungerade Funktionen sind und das Integral symmetrisch um den
Nullpunkt liegt, ist das Gesamtintegral gleich 0.
Im weiteren Verlauf werden folgende Abkürzungen verwendet:
˜c 1 := i
2π
˜d 1 := i
2π
∫ π
−π
∫ π
−π
dk c 1 (5.23)
dk d 1 . (5.24)
Das Integral ˜c 1 kann mit einem Computeralgebra System ausgewertet werden. Man erhält
als relevanten Teil:
˜c 1 ∼
∫ π
−π
dk
1 − t(1 + cos 2k)
2π(3 + cos 2k)
= 1
2 √ 2 − (1 − 1 √
2
)t (5.25)
Der nichtrelevante Anteil des ˜c 1 Integrals liefert für große Zeiten t nur einen sehr kleinen
Beitrag:
∫ π
−π
(
sin k sin 2tθ
dk √
2π(3 + cos 2k) 3/2
Nun zur Auswertung des Integrals ˜d 1 :
(3 + cos 2k)cos 2tθ
)
−
2π(3 + cos 2k) 2 < 0.02 für t > 100. (5.26)
˜d 1 = i
2π
∫ π
Die Berechnung der einzelnen Ableitungen liefert:
a ∗′ = − itcos2 k cos tθ
1 + cos 2 k
b ′ = ieik t cos k cos tθ
1 + cos 2 k
−π
dk(a ∗ b ′ − a ∗′ b) (5.27)
− icos2 k sin k sin tθ isin k sin tθ t cos k sin tθ
(1 + cos 2 k) 3/2 + √ − √
1 + cos 2 k 1 + cos 2 k
(5.28)
− eik sin tθ
√
1 + cos k + ieik cos k sin k sin tθ
(1 + cos 2 k) 3/2 . (5.29)