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100 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
1
|Cov(xi,xj)|
600
500
400
300
200
Cov(x 1
,x 2
)
Cov(x 2
,x 3
)
Cov(x 2
,x 4
)
C 12
,C 23
C 24
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Cij
100
0.1
0
0 2 4 6 8 10 0
J;J s = 2
Abbildung 5.15: Vergleich ausgewählter Kovarianzen (linke y-Achse) und ausgewählter Concurrences
(rechte y-Achse) für den Zustand |φ 14 〉 als Funktion des Parameters J
mit konstantem J s = 2.
0.2
Die Diskussion der Kovarianzen bezüglich der Verschränkungsstruktur erweist sich als
schwierig. Einerseits sind im Zustand nur 2-Qubit Verschränkungen enthalten. Es ergibt
sich aber keine direkte Umsetzung der Concurrences in den Kovarianzen. Der Unterschied
der Verschränkungsinformation ist in den drei- und vierdimensionalen Erwartungswerten
enthalten, welche ebenfalls parameterabhängig und ungleich Null sind.
In Abb. 5.14 sind die Concurrences, die Beträge der Kovarianzen und die drei- und vierdimensionalen
Erwartungswerte als Funktion des Parameters J bei konstantem J s = 2
dargestellt. Ein markanter Punkt ist bei J = 2. Hier sind die Concurrences C 12 ,C 23 und
C 24 gleich 0. An diesem Punkt haben ebenso die passenden Kovarianzen |Cov(x 1 ,x 2 )|,
|Cov(x 2 ,x 3 )| und |Cov(x 2 ,x 4 )| eine Nullstelle. Ebenfalls sind Gemeinsamkeiten dieser Concurrence
/ Kovarianz Paare in den Grenzen J → 0 und J → ∞ zu erkennnen. Der direkte
Vergleich dieser Größen ist in Abb. 5.15 dargestellt. Überhaupt nicht ins Bild paßt der
Vergleich der Concurrences C 14 , C 34 mit den Kovarianzen |Cov(x 1 ,x 4 )| und |Cov(x 3 ,x 4 )|.
Die Concurrences haben ein Maximum bei J ≈ 2, die Kovarianz |Cov(x 1 ,x 4 )| fällt von
J = 0 aus monoton ab und die Kovarianz |Cov(x 3 ,x 4 )| zeigt ein Minimum bei J ≈ 0.5.
Hingegen zeigt der dreidimensionale Erwartungswert 〈x 1 x 3 x 4 〉 ebenfalls ein Maximum bei
J ≈ 2. Erst die kombinierte Betrachtung der Kovarianzen und der höheren Erwartungswerte
liefert also den Parameterverlauf der Concurrences.
5.4.3 Diskussion
Die Diskussion von 4-Qubit Zuständen erweist sich als kompliziert. Es fehlen einerseits
die entsprechenden Maße, beispielsweise um die 3-Qubit bzw. 4-Qubit Verschränkung zu
bestimmen, andererseits ist eine Fülle an Erwartungswerten vorhanden, die die Information
über die Struktur der Verschränkung in sich bergen. Doch wie man gesehen hat, ist
es möglich gewisse Information zu erhalten. Durch die eindimensionalen Mittelwerte 〈x i 〉
erhält man die I-Concurrence und darüber die Globalverschränkung. Ebenso lassen sich
durch eine kombinierte Betrachtung der Kovarianzen und der höheren Erwartungswerte,
Strukuren der 2-Qubit Verschränkung bzw. 3- und 4-Qubit Verschränkung bestimmen.