Dokument_1.pdf (3712 KB) - OPUS Bayreuth - Universität Bayreuth

5.4 Vierdimensionaler QW 95
Im Bereich 0 ≤ γ ≤ 1/ √ 8 entspricht die umskalierte Kovarianz genau der Concurrence.
Im Bereich γ ≥ 1/ √ 8 entsteht eine Abweichung zur Concurrence. Verschiebt man ebenso
die Nullinie des vierdimensionalen Mittelwertes:
∣
∣
∣∣,
∣〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 − [〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉] γ=0 (5.261)
so erhält man ebenfalls gleiche Parameterabhängigkeit wie die Concurrences, siehe Abb.
5.12b. Bei dieser Art der Umskalierung würde die Kombination:
|〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉| − ∑ |Cov(x i ,x j )| (5.262)
gleich Null werden. Es gäbe also keinen möglichen Zusammenhang mit einer 4-Qubit Verschränkung.
Bei der Betrachtung von Zuständen mit einer komplexen Verschränkungsstruktur ist folglich
die Wahl der Nullinie entscheidend.
5.4.2.3 Heisenberg Zustand |φ 15 〉
Die Verschränkungsstruktur des Zustandes |φ 15 〉 ist dem Miyake Zustand ähnlich. Der
Zustand:
|φ 15 〉 = −β 1 |0011〉 + β 1 |0110〉 − β 1 |1001〉 + β 1 |1100〉 − β 2 |0101〉 + β 2 |1010〉 (5.263)
ist wie bereits diskutiert, Eigenzustand einer Heisenberg Spinkette. Die Parameter β i sind
komplizierte Funktionen der Wechselwirkungsparameter J und J s , vgl. (2.81) bzw. (2.82).
Die folgende Parameterdiskussion der Verschränkung bezieht sich also immer auf J und
J s . Eine Darstellung der Verschränkungsmaße ist in Anhang A enthalten.
Ebenso wie im vorherigen Beispiel des Miyake Zustandes, sind die auf ein Qubit reduzierten
I-Concurrences parameterunabhängig:
IC i = 1 (5.264)
Die ein- und dreidimensionalen Ortserwartungswerte sind gleich 0:
〈x i 〉 = 0 (5.265)
〈x i x j x k 〉 = 0 (5.266)
Die eindimensionalen Erwartungswerte erfüllen damit den Zusammenhang (5.209) mit
verschwindendem Restterm. Die Diskussion des Mittelwertes 〈x i x j x k 〉 entspricht der des
Miyake Zustandes. Einerseits könnte ein direkter Zusammenhang mit der I-Concurrence
bestehen, andererseits ist eine Zusammensetzung als Produkt aus niederdimensionalen
Erwartungswerten möglich.
Interessant wird die Betrachtung der zwei- und vierdimensionalen Mittelwerte:
〈x 1 x 2 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = −˜c 1 2 2β 2 2 + ˜d 1
2
4β1 β 2 (5.267)
〈x 1 x 4 〉 = 〈x 3 x 4 〉 = −˜c 1 2 2β 2 2 − ˜d 1
2
4β1 β 2 (5.268)
〈x 1 x 3 〉 = ˜c 1 2 (−4β 2 1 + 2β2 2 ) + ˜d 1
2
4β
2
1 (5.269)
〈x 2 x 4 〉 = ˜c 1 2 (−4β 2 1 + 2β2 2 ) − ˜d 1
2
4β
2
1 (5.270)
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1 4 − ˜d 1
4
. (5.271)