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5.3 Dreidimensionaler QW 75
wobei ˜H(1) k x1
in (5.53) definiert ist. Durch Ausnutzen der abgeleiteten Lemmas (1) und (2)
erhält man:
〈x 1 〉 = ˜c 1
{|α 1 | 2 + |α 2 | 2 + |α 3 | 2 + |α 4 | 2 − |α 5 | 2 − |α 6 | 2 − |α 7 | 2 − |α 8 | 2} +
˜d 1
{
α 1 α ∗ 5 + α ∗ 1α 5 + α 2 α ∗ 6 + α ∗ 2α 6 + α 3 α ∗ 7 + α ∗ 3α 7 + α 4 α ∗ 8 + α ∗ 4α 8
}
(5.106)
Die Berechnung der Mittelwerte 〈x 2 〉 bzw. 〈x 3 〉 erfolgt analog. Man benutzt die Integranden:
〈x 2 〉 −→ 〈φ 0 |11 ⊗
〈x 3 〉 −→ 〈φ 0 |11 ⊗ 11 ⊗
˜H
(1)
k x2
⊗ 11|φ 0 〉 (5.107)
˜H
(1)
k x3
|φ 0 〉 (5.108)
und faßt die Ergebnisse entsprechend zusammen. Die genaue Darstellung der Mittelwerte
in Abhängigkeit der α i befindet sich in Anhang B.
Die Berechnung des Zusammenhanges zwischen Mittelwerten und I-Concurrences erfolgt
wie im zweidimensionalen QW. Die reduzierte Dichtematrix ρ 1 erhält man mit einer partiellen
Spurbildung der Gesamtdichtematrix ρ 123 = |φ 0 〉〈φ 0 |, ρ 1 = tr 23 ρ 123 . Die Elemente
von ρ 1 werden mit R (1)
ij
:= (ρ 1 ) ij abgekürzt:
R (1)
11
{|α = 1 | 2 + |α 2 | 2 + |α 3 | 2 + |α 4 | 2} (5.109)
}
R (1)
12
{α = 1 α ∗ 5 + α 2α ∗ 6 + α 3α ∗ 7 + α 4α ∗ 8
(5.110)
}
R (1)
21
{α = ∗ 1 α 5 + α ∗ 2 α 6 + α ∗ 3 α 7 + α ∗ 4 α 8
(5.111)
R (1)
22 = {|α 5 | 2 + |α 6 | 2 + |α 7 | 2 + |α 8 | 2} . (5.112)
Da die Strukturen die gleiche Form wie im zweidimensionalen Fall haben, sowohl die Spur
über ρ 2 1 : tr (ρ 2 1) = (R (1)
11 )2 + (R (1)
22 )2 + 2R (1)
12 R(1) 21 , (5.113)
als auch der Mittelwert:
{ }
〈x 1 〉 = ˜c 1 R (1)
11 − R(1) 22 + ˜d
{ }
1 R (1)
12 + R(1) 21 , (5.114)
erhält man den gewünschten Zusammenhang:
〈x 1 〉 2 = ˜c 1
2 { (1 − IC 2 1−23 ) + Rest x 1
}. (5.115)
Hierbei wurde wieder die Annahme benutzt, daß t groß ist, damit ˜c 1 und ˜d 1 gleichgesetzt
werden können. Die Ableitung kann ebenfalls für 〈x 2 〉 und 〈x 3 〉 durchgeführt werden. Man
kann als allgemeines Ergebnis für den asymptotischen Grenzfall großer Zeiten festhalten:
〈x i 〉 2 = ˜c 1
2 { (1 − IC 2 i ) + Rest xi
}. (5.116)
Der quadratische Mittelwert 〈x i 〉 ist proportional zur Differenz 1−ICi 2 , wobei ein noch zu
diskutierender Term Rest xi übrigbleibt. Für verallgemeinerte GHZ- und W-Zustände verschwindet
dieser Restterm. Ebenso bei den weiter unten besprochenen Beispielzuständen.
Es lassen sich natürlich Zustände mit Resttermen ungleich Null konstruieren. Ob diese
Zustände bestimmte Gemeinsamkeiten aufweisen, muß noch geklärt werden.