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48 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle
5
〈n〉
0
-5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
τ
Abbildung 3.10: Mittelwert 〈n〉 als Funktion von τ eines eindimensionalen Stroboskopischen
QW. Vergleich der numerischen Simulation (Linie) mit der anlaytischen Berechnung
(Punkte) für t = 30 aus (3.117).
beachtet zu werden. Man erhält nun aus (3.106) für die einzelnen Komponenten des Coinvektors:
ψ 0 (n,t) =
ψ 1 (n,t) =
∫ π
−π
∫ π
−π
dk
2π
dk
2π
Interessiert ist man an den Wahrscheinlichkeitsamplituden:
1
√
2
(u 11 + iu 12 )e −ikn (3.112)
1
√
2
(u 11 + iu 12 )e −ikn (3.113)
ψ 0 (n,t)ψ0 ∗ (n,t) = 1 2
ψ 1 (n,t)ψ1 ∗ (n,t) = 1 2
∫ π ∫ π
−π −π
∫ π
∫ π
−π −π
dk dk ′ ( )(
u11 + iu 12 u
′
2π 2π
11 + iu ′ ∗
} {{
12)
}
:=I 0 (k,k ′ ,t)
dk dk ′ ( )(
u21 + iu 22 u
′
2π 2π
21 + iu ′ ∗
} {{
22)
}
:=I 1 (k,k ′ ,t)
e −in(k−k′ )
e −in(k−k′ )
(3.114)
(3.115)
wobei u ′ ij = u′ ij (k′ ,τ,t) nun Funktion von k ′ ist. Durch Anwendung der Relation (3.25)
erhält man eine Gleichung für den Mittelwert:
〈n〉 t = i
4π
= − i
4π
∫ π ∫ π
−π −π
∫ π
−π
dk dk ′( )
I 0 (k,k ′ ,t) + I 1 (k,k ′ ,t) δ (1) (k − k ′ ) (3.116)
dk ∂ k ′
[
]
I 0 (k,k ′ ,t) + I 1 (k,k ′ ,t)
k ′ =k
(3.117)
Dieses Integral läßt sich mit einem Computeralgebra Programm für Zeiten bis ungefähr
t = 30 mit angemessenem Aufwand berechnen. In Abb. 3.10 wird die Auswertung des Integrals
mit der numerischen Simulation verglichen. Man erhält perfekte Übereinstimmung.
Der Stroboskopische QW war der erste in einer Reihe von Modellen bzw. Arbeiten, die