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5.4 Vierdimensionaler QW 93
konstant und deuten auf die Concurrences hin, welche gleich Null sind. Die Berechnung
der Kovarianzen liefert:
Cov(x i ,x j ) = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) (5.249)
Das Ergebnis entspricht dem 3-Qubit Fall, nur daß hier eine 4-Qubit Verschränkung vorliegt.
Zur Diskussion der 4-Qubit Verschränkung des 4-Qubit GHZ-Zustandes, vgl. Seite
18. Die dreidimensionalen Erwartungswerte können als Produkt niederdimensionaler Erwartungswerte
geschrieben werden:
〈x i x j x k 〉 = 〈x i x j 〉〈x k 〉 (5.250)
Der vierdimensionale Erwartungswert hat eine interessante Form. Im direkten Vergleich
mit dem dreidimensionalen Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 〉 des 3-Qubit GHZ-Zustandes, vgl.
(5.140), ist der ˜c 1 Anteil parameterunabhängig. Nur der ˜d 1 Anteil hat die gleiche Form. Bei
einer Phasenmittelung wäre der Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 also parameterunabhängig.
Die Information über eine vorliegende 4-Qubit Verschränkung wäre folglich nur in den
Kovarianzen enthalten. Bei Zuständen mit einer von Null verschiedenen Concurrence ist
daher wieder eine funktionale Kombination aller Erwartunsgwerte notwendig, um eine
vollständige Verschränkungscharakterisierung zu erreichen.
5.4.2.2 Reduzierter Miyake Zustand
Der Zustand:
|G αβγδ 〉 = α ( |0000〉 + |1111〉 ) + β ( |0011〉 + |1100〉 )
+ γ ( |0101〉 + |1010〉 ) + δ ( |0110〉 + |1001〉 ) (5.251)
gehört mit einer von Null verschiedenen Hyperdeterminanten Det A 4 zu der äußersten
SLOCC Klasse. Wie im einleitenden Kapitel wird β = δ = γ und 2α 2 + 6γ 2 = 1 gesetzt,
um die Anzahl der Parameter zu reduzieren:
|G αγ 〉 = α ( |0000〉 + |1111〉 ) + γ ( |0011〉 + |1100〉+
|0101〉 + |1010〉 + |0110〉 + |1001〉 ) . (5.252)
Die I-Concurrences sind für diesen Zustand parameterunabhängig und gleich, IC i = 1.
Ebenso sind alle Concurrences C ij gleich:
⎧
⎨4γ(α − γ) if 0 ≤ γ ≤ √ 1
C ij =
8
(5.253)
⎩
2(γ 2 − α 2 1
) if √8 < γ ≤ √ 1 6
Die Berechnung der Ortserwartungswerte des QW liefert folgende Ergebnisse. Die ein- und
dreidimensionalen Mittelwerte sind gleich Null:
〈x i 〉 = 0 (5.254)
〈x i x j x k 〉 = 0 (5.255)
Da die I-Concurrences gleich 1 sind, ist der Zusammenhang (5.209) erfüllt, wobei die
Restterme gleich Null sind. Das Verschwinden der Mittelwerte 〈x i x j x k 〉 läßt ebenfalls auf
einen Zusammenhang mit der I-Concurrenc schließen. Auch eine Produktform wie im Fall