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5.2 Zweidimensionaler QW 69
mit den Elementen:
R 11 := (ρ 1 ) 11 R 12 := (ρ 1 ) 12 (5.83)
R 21 := (ρ 1 ) 21 R 22 := (ρ 1 ) 22 (5.84)
Der x-Mittelwert (5.57) läßt sich ebenfalls als Funktion dieser Elemente darstellen:
〈x〉 = ˜c 1 (R 11 − R 22 ) + ˜d 1 (R 12 + R 21 ) (5.85)
Quadriert man nun den x-Mittelwert, so erhält man:
〈x〉 2 = ˜c 1
2 ( R 11 − R 22
) 2 + ˜d1
2(
R12 + R 21
) 2 + 2˜c1 ˜d1
(
R11 − R 22
)(
R12 + R 21
)
(5.86)
Im Limes großer Zeiten sind ˜c 1 und ˜d 1 gleich. Die Terme lassen sich dann geschickt zusammenfassen
und auf eine Form bringen, die der Ausgangsform entspricht:
〈x〉 2 = ˜c 1
2 { (1 − IC 2 1−2) + Rest x
}, (5.87)
wobei
Rest x = (R 12 − R 21 ) 2 + (R 11 − R 22 )(R 12 + R 21 ) (5.88)
Die Gleichheit ist natürlich nur im asymptotischen Bereich vorhanden, weswegen eigentlich
ein ≃ Zeichen passender wäre. Wenn im folgenden dieser Zusammenhang verwendet wird,
ist also immer der Limes großer Zeiten gemeint.
Durch eine ähnliche Rechnung läßt sich der y-Mittelwert ebenfalls auf die gewünschte
Darstellung bringen:
〈y〉 2 = ˜c 1
2 { (1 − IC 2 2−1) + Rest y
}, (5.89)
wobei für den Term Rest y nun natürlich die Elemente von ρ 2 eingesetzt werden müssen.
Der Restterm Rest x läßt sich für eine weitere Diskussion zusammenfassen:
Rest x = −4 { Im(R 12 ) } 2 + 2(R11 − R 22 )Re(R 12 ) (5.90)
Es stellt sich die Frage, für welche Zustände |φ 0 〉 dieser Restterm gleich 0 ist? Der Restterm
verschwindet für alle Zustände, die in der Bell Form (2.3) vorliegen, also:
α|00〉 + δ|11〉 bzw. β|01〉 + γ|10〉, (5.91)
sowohl mit reellen als auch komplexen Parametern α,β,γ,δ. Für andere Zustände, wie
z.B.
α|00〉 + β|01〉 + γ|10〉, (5.92)
liefert der Term Rest x einen endlichen Beitrag. Dies paßt nicht ins Bild des Ergebnisses
aus Kapitel 4 (vgl. Seite 57), wo eine gemischte Verschränkung als Antwort vorgeschlagen
wurde. Im Falle von reinen 2-Qubit Zuständen existiert nach gängiger Meinung nur eine
Art der Verschränkung und diese kann mit der Concurrence gemessen werden.
Interessant ist der Zusammenhang zwischen I-Concurrence und Korrelation, im Vergleich
mit den Ergebnissen von Glaser et al. [50]. Hier wird die I-Concurence mit Spinkorrelationen
in Beziehung gesetzt. Sie erhalten folgenden Zusammenhang:
IC 2 i = 1 − 〈σ z i 〉 2 − 4〈σ + i 〉〈σ− i
〉, (5.93)
wobei die σ i die Standard Paulioperatoren, bezogen auf das i-te Qubit sind. Der quadratische
σ z Erwartunsgwert ist, bis auf einen Restterm, proportional zu 1 − IC 2 i .