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72 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle Diese Erwartungswerte erfüllen die allgemeinen Zusammenhänge (5.87) bzw. (5.89) mit der I-Concurrence, die Restterme Rest x bzw. Rest y sind für diesen Zustand gleich 0. Die Verschränkung des Zustandes ist also durch Angabe bzw. Messung der eindimensionalen Ortserwartungswerte komplett charakterisiert, da durch die I-Concurrences auch die Concurrences bestimmt sind. In Abb. 5.3 ist der Mittelwert 〈x〉 als Funktion von γ aufgetragen. Die numerischen Punkte sind mit der analytischen Lösung A 0 (2γ 2 −1) angepaßt, wobei ˜c 1 als Fitparameter verwendet wurde. Das Ergebnis der Anpassung A 0 = 28.9756 entspricht der analytischen Lösung des Integrales ˜c 1 für t = 100, vgl. (5.25). Der Erwartungswert 〈xy〉 berechnet sich mit (5.68) zu: 〈xy〉 = ˜c 1 2 + ˜d 1 2 2g √ 1 − γ 2 cos ϕ (5.100) Wie man sieht, ist dieser Erwartungswert abhängig von der Phase ϕ. In Abb. 5.4 ist die γ-Abhängigkeit von 〈xy〉 für verschiedene ϕ geplottet und mit der analytischen Lösung angepaßt. Die großen Werte des Mittelwertes ergeben sich aus der Entwicklung des Walks für große Zeiten. Für γ ∈ {0,1} ist die Concurrence gleich 0, der Zustand unverschränkt. In diesem Fall entspricht 〈xy〉 = 〈x〉〈y〉. Für γ ∉ {0,1} ist der Zustand verschränkt. In diesem Fall kann 〈xy〉 nicht mehr als Produkt der einzelnen Erwartungswerte 〈x〉, 〈y〉 geschrieben werden. Die Korrelation wird durch die Kovarianz bschrieben und ist ebenfalls von ϕ abhängig: Cov(x,y) = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) + ˜d 1 2 2γ √ 1 − γ 2 cos ϕ (5.101) Die γ-Abhängigkeit der Kovarianz ist in Abb. 5.5 für verschiedene Winkel ϕ dargestellt. Die analytischen Ergebnisse stimmen mit den Resultaten der numerischen Simulation perfekt überein. Die Kovarianz Cov(x,y) ist ebenfalls für γ ∈ {0,1} gleich 0. Die Korrelation verschwindet also in diesem Fall für unverschränkte Zustände, vgl. auch die allgemeine Darstellung (5.96). Die Concurrence ist maximal für γ = 1/ √ 2. Das Maximum der Kovarianz ist abhängig vom Phasenwinkel ϕ. Für ϕ = π/2 entspricht die Kovarianz der quadrierten Concurrrence. Aber beispielsweise für ϕ = 0 liefert der ˜d 1 2 Term einen endlichen Beitrag. Diese Phasensensitivität ist bei einer Diskussion der Verschränkungsabhängigkeit natürlich fehl am Platze. Die Concurrence, als Maß einer 2-Qubit Verschränkung ist phasenunabhängig. Größen, die die Parameterabhängigkeit der Concurrence wiederspiegeln sollen, sollten folglich ebenfalls phasenunabhängig sein. Es wird daher vorgeschlagen, die Phasenabhängigkeit durch eine Mittelung zu reduzieren, um auf ein Verschränkungsmaß zu kommen: 1 2π ∫ 2π 0 Cov(x,y)dϕ = ˜c 1 2 4γ 2 (1 − γ 2 ) (5.102) Durch diese Mittelung über den gesamten Phasenbereich erhält man einen direkten Zusammenhang zwischen Kovarianz und quadrierter Concurrence. Diese Größe wäre natürlich auch experimentell zugänglicher, da eine direkte Kontrolle der Phase schwierig ist. Andererseits ist durch die Phasenabhängigkeit der Erwartungswerte, die Phase durch QW Experimente bestimmbar. Eine weitere Möglichkeit besteht in der Betrachtung der folgenden Größe: Cov(x,y) := 〈|x − 〈x〉||y − 〈y〉|〉 (5.103) Ähnlich zur Kovarianz konstruiert, wird nun der Absolutbetrag der Abweichungen vom Mittelwert untersucht. In Abb. 5.6 ist die γ-Abhängigkeit dieser Größe für verschiedene
5.2 Zweidimensionaler QW 73 2000 Cov(x,y) 1500 1000 ϕ = 0 ϕ=π/4 ϕ=π/3 ϕ=π/2 ϕ=2π/3 ϕ=3π/4 ϕ=π 500 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ Abbildung 5.5: Kovarianz des Beispielzustandes (5.97) als Funktion von γ, für verschiedene Werte von ϕ. Die numerischen Punkte sind mit der analytischen Lösung A 0 4γ 2 (1 − γ 2 ) + A 1 2γ √ 1 − γ 2 cosϕ angefittet, mit den jeweiligen Ergebnissen A 0 = 839.583 und A 1 = 878.688. Die numerische Simulation des QW wurde mit g = 220 und t = 100 durchgeführt. Cov(x,y) 2500 2250 2000 ϕ=0 ϕ=π/4 ϕ=π/3 ϕ=π/2 ϕ=2π/3 ϕ=3π/4 ϕ=π 1750 1500 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ Abbildung 5.6: Cov(x, y) des Beispielzustandes (5.97) als Funktion von γ, für verschiedene Werte von ϕ. Die numerischen Ergebnisse für ϕ = 0 wurden einerseits mit der Gleichung für die Concurrence (gestrichelte Linie) und andererseits mit der quadrierten Concurrence (durchgezogene Linie) angepaßt. Numerische Simulation des QW mit g = 220 und t = 100.
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Verschränkungsstrukturen in multid
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung &
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Kapitel 1 Einführung & Motivation
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3 vergleichbar. Algorithmen aus der
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Kapitel 2 Verschränkungsmessung un
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2.2 Charakterisierung reiner 2- und
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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
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Seite 27 und 28: 2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
Seite 29 und 30: 2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Q
Seite 31 und 32: Kapitel 3 Diskrete Quantum Walk Mod
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Seite 113 und 114: 107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116: Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118: 111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120: 113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
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Seite 129:
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