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5.3 Dreidimensionaler QW 87
(
)
Det(ρ 2 ) − Det(ρ 3 ) = (α 1 − α 4 )(α 6 + α 7 ) − (α 2 + α 3 )(α 5 − α 8 )
(
)
−(α 1 + α 4 )(α 6 − α 7 ) + (α 2 − α 3 )(α 5 + α 8 ) = 0. (5.193)
Betrachtet man nun beispielsweise die Beziehung zwischen C 12 und C 23 , so muß Det(ρ 1 )−
Det(ρ 3 ) = 0 sein. Eine Bedingung hierfür ist:
(α 1 − α 6 )(α 4 + α 7 ) = (α 2 + α 5 )(α 3 − α 8 ) (5.194)
Diese Gleichung ist erfüllt, falls die rechte Seite und die linke Seite gleich Null sind, also:
)
)
(α 1 = α 6 ∨ α 4 = −α 7 ∧
(α 2 = −α 5 ∨ α 3 = α 8 . (5.195)
Setzt man diese Bedingungen mittels Computeralgebra Programm in
Cov(x 1 ,x 2 ) − Cov(x 2 ,x 3 )
ein, so erhält man nur die Null, falls gleichzeitig alle Parametergleichheiten berücksichtigt
werden. Es gibt also Zustände, bei denen gleiche Concurrences nicht durch gleiche
Kovarianzen in den QW Modellen erkennbar sind.
5.3.4 Bemerkung zur Phasenabhängigkeit
Wie bereits beim GHZ-Zustand diskutiert, ist der QW und sind somit die Erwartungswerte
in starkem Maße abhängig von Phasenwinkeln. Da diese erstens im Experiment
nur schwer kontrolliert werden können und zweitens die Verschränkungsmaße nur bedingt
von der Phase abhängen, lieferte eine Mittelung über alle möglichen Phaseneinstellungen,
zumindest beim GHZ-Zustand, den direkten Zusammenhang zwischen Erwartungswerten
und Verschränkungsmaßen.
Um den Phaseneinfluß bzw. die Mittelung genauer zu studieren, kann man einen allgemeinen
Zustand mit beliebigen Phasenwinkeln betrachten:
|φ 0 〉 =
8∑
α k e iϕ k
|k〉 (5.196)
k=1
mit α k ∈ R, ϕ k ∈ [0,2π] und den Standardbasisvektoren |k〉. Die Berechnung der Erwartunsgwerte
erfolgt wie oben beschrieben, mit der anschließenden Mittelung über alle ϕ k ,
hier beispielsweise demonstriert an 〈x 1 〉:
〈〈x 1 〉〉 ϕ = 1 ∫2π
(2π) 8 dϕ 1 ...
0
∫ 2π
0
}
dϕ 8 〈x 1 〉 = ˜c 1
{...
(5.197)
Man erhält im Vergleich zur allgemeinen Form (5.106) nur den ˜c 1 Anteil, welcher allein
von den Diagonalelementen der Dichtematrix abhängt. Gleiche Resultate erhält man für
die anderen Erwartungswerte. Es ist durchaus logisch, daß durch eine Mittelung gewisse
Information verloren geht. Vergleicht man aber die Erwartungswerte für den Zustand
|ψ 78 〉, einmal mit, einmal ohne Mittelung, so verliert man z.B. für die eindimensionalen
Erwartungswerte 〈x i 〉 die vollständige Parameterabhängigkeit. Man verliert also nicht nur
die unnötige Information, sonder erleidet einen gesamten Informationsverlust. Die Phasensensitivität
des QW muß also entweder auf anderem Wege ausgeschaltet werden, oder