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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Qubit Verschränkung 21
H = −2β 2 1 − β 2 2 (2.83)
L = −N = β 2 1(β 2 1 − β 2 2) (2.84)
M = 0 (2.85)
D xt = −β1 2 β4 2 (2.86)
S = 1
12 β4 2 (−4β2 1 + β2 2 )2 (2.87)
T = 1
216 β6 2 (−4β2 1 + β2 2 )3 (2.88)
∆ = 0. (2.89)
In Abb. 2.6 ist zusätzlich der Verlauf der auf 1 normierten Invarianten √ S aufgetragen.
Alle drei betrachteten Größen zeigen gleiches Verhalten. Die Übereinstimmung ist gut an
den Maxima bzw. Minima zu sehen. Für J = 0,J s = 2 bzw. J = 2,J s → ∞ zeigen alle
drei Größen eine maximale 4-Qubit Verschränkung an. In diesen Grenzfällen nimmt der
Zustand GHZ Form an. Auch im Minimum J = 2,J s = 2 herrscht Übereinstimmung.
Da die Invariante ∆ gleich Null ist, gehört der Zustand nicht zur G αβγδ Klasse. Aber der
Zustand erfüllt fast für alle Parameter, bis auf einen schmalen Bereich um J = J s = 2,
die Bell Bedingung für eine 4-Qubit Verschränkung. Testet man nun die Klassifikationskriterien
nach Li et al. für die SLOCC Äquivalenz mit dem GHZ-Zustand, so erhält man
folgende Gleichungen:
2β 2 1 + β2 2 ≠ 0, −β4 1 = 0 and β2 1 β2 2
= 0. (2.90)
Diese werden für β 1 = 0 und β 2 ≠ 0 gelöst. Das stimmt mit den Grenzwerten J s = 2,J → 0
und J = 2,J s → ∞ überein. Wie bereits angesprochen, reduziert sich der Zustand auf
einen GHZ-Typ, |φ 15 〉 ≈ (−|0101〉+|1010〉)/ √ 2. In allen anderen Fällen, d.h. β 1 ≠ 0, muß
der Zustand noch einer Klasse zugeordnet werden.
2.3.3.3 Miyake Zustand |G αγ 〉
In diesem Teilabschnitt wird explizit ein Zustand mit ∆ ≠ 0 untersucht. Dazu wird der
ursprüngliche Miyake Zustand |G αβγδ 〉 (2.57) um mehrere Parameter reduziert. Setzt man
β = δ = γ und 2α 2 + 6γ 2 = 1, so wird:
|G αγ 〉 = α ( |0000〉 + |1111〉 ) + γ ( |0011〉 + |1100〉+
|0101〉 + |1010〉 + |0110〉 + |1001〉 ) , (2.91)
wobei α bzw. γ reell gewählt werden, also γ ∈ [0,1/ √ 6]. Die Globalverschränkung Q für
diesen Zustand ist parameterunabhängig, Q = 1. Die Berechnung der Concurrences zeigt
die Gleichheit aller, C 12 = C 13 = C 14 = C 23 = C 24 = C 34 , mit
⎧
⎨4γ(α − γ) if 0 ≤ γ ≤ 1
C 12 =
2 √ 2
(2.92)
⎩
2(γ 2 − α 2 1
) if
2 √ < γ ≤ √ 1
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