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76 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
5.3.1.2 2D & 3D Mittelwerte
Die Berechnung der höheren Mittelwerte in Abhängigkeit der α i erfolgt nach dem gleichen
Schema. Erst die Auswertung des Integrals:
〈x 1 x 2 〉 = i2
(2π) 3
∫π
k x1 ,k x2 ,k x3 =−π
(1)
dk x1 dk x2 dk x3 〈φ 0 | ˜H
k x1
⊗
˜H
(1)
k x2
⊗ 11|φ 0 〉, (5.117)
dann das Zusammenziehen der Terme mittels Hilfssätzen:
{
2
〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 |α 1 | 2 + |α 2 | 2 − |α 3 | 2 − |α 4 | 2 − |α 5 | 2 − |α 6 | 2 + |α 7 | 2 + |α 8 | 2} +
2
˜d { }
1 α 1 α ∗ 7 + α∗ 1 α 7 + α 2 α ∗ 8 + α∗ 2 α 8 + α 3 α ∗ 5 + α∗ 3 α 5 + α 4 α ∗ 6 + α∗ 4 α 6 +
˜c 1 ˜d1
{α 1 α ∗ 3 + α ∗ 1α 3 + α 1 α ∗ 5 + α ∗ 1α 5 + α 2 α ∗ 4 + α ∗ 2α 4 + α 2 α ∗ 6 + α ∗ 2α 6 −
α 3 α ∗ 7 − α ∗ 3α 7 − α 5 α ∗ 7 − α ∗ 5α 7 − α 4 α ∗ 8 − α ∗ 4α 8 − α 6 α ∗ 8 − α ∗ 6α 8
}. (5.118)
Die weiteren Mittelwerte 〈x 1 x 3 〉 und 〈x 2 x 3 〉 berechnen sich mit den Integranden:
〈x 1 x 3 〉 → 〈φ 0 |
〈x 2 x 3 〉 → 〈φ 0 |11 ⊗
˜H
(1)
k x1
⊗ 11 ⊗
˜H
(1)
k x2
⊗
Die genaue Darstellung befindet sich in Anhang B.
˜H
(1)
k x3
|φ 0 〉 (5.119)
˜H
(1)
k x3
|φ 0 〉 (5.120)
Betrachtet man die auf zwei Qubits reduzierte Dichtematrix ρ 12 = tr 3 ρ 123 und kürzt
die Elemente dieser mit R (12)
ij
:= (ρ 12 ) ij ab, so kann man den Erwartungswert 〈x 1 x 2 〉 als
Funktion dieser Elemente schreiben:
{ }
2
〈x 1 x 2 〉 = ˜c 1 R (12)
11 − R (12)
22 − R (12)
33 + R (12)
44 + ˜d
2 {
1 R (12)
14 + R (12)
41 + R (12)
23 + R (12)
{
˜c 1 ˜d1 R (12)
12 + R (12)
21 + R (12)
13 + R (12)
31 − R (12)
24 − R (12)
42 − R (12)
34 − R (12)
43
32
}
+
}
. (5.121)
Wie im Fall der eindimensionalen Mittelwerte ist also eine Darstellung als Funktion der
Elemente der reduzierten Dichtematrix möglich. Die Darstellung der anderen beiden Mittelwerte
hat ebenfalls die gleiche Struktur.
Vergleicht man diese Struktur mit der Darstellung durch Spinkorrelationen aus der Arbeit
von Glaser et al. [50], so ergibt sich wieder eine Übereinstimmung. Betrachtet man nur den
˜c 1 2 Anteil, also die Addition/Subtraktion der Diagonalelemente, so erhält man in Termen
der Spinkorrelationen einen Zusammenhang mit einer σ z Zweipunkt Korrelation:
〈σ z i σz j 〉 = R(ij) 11 − R(ij) 22 − R(ij) 33 + R(ij) 44 . (5.122)
Die Berechnung des dreidimensionalen Erwartungswertes liefert:
〈x 1 x 2 x 3 〉 = i3
(2π) 3
∫π
k x1 ,k x2 ,k x3 =−π
(1)
dk x1 dk x2 dk x3 〈φ 0 | ˜H
k x1
⊗
˜H
(1)
k x2
⊗
˜H
(1)
k x3
|φ 0 〉 (5.123)