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2.3 Polynomiale Invarianten und 4-Qubit Verschränkung 15
möglichen 4-Qubit Permutationen der CKW Ungleichung verwendet:
Summiert man diese Ungleichungen auf, so erhält man:
C 2 12 + C2 13 + C2 14 ≤ C2 1(234)
(2.46)
C 2 12 + C2 23 + C2 24 ≤ C2 2(134)
(2.47)
C 2 13 + C2 23 + C2 34 ≤ C2 3(124)
(2.48)
C 2 14 + C2 24 + C2 34 ≤ C2 4(123) . (2.49)
2(C 2 12 + C2 13 + C2 14 + C2 23 + C2 24 + C2 34 ) ≤ C2 1(234) + C2 2(134) + C2 3(124) + C2 4(123)
(2.50)
Die rechte Seite dieser Ungleichung entspricht der Summe der 1-Qubit I-Concurrences und
somit dem Global Entanglement Q, vgl. (2.15). Daraus folgt:
Weiterführend ist daher mit der Größe :
die verbleibende 3- bzw. 4-Qubit Verschränkung abschätzbar.
Q ≥ 1 2
∑
C
2
ij . (2.51)
Q − 1 2
∑
C
2
ij (2.52)
2.3.1 SLOCC Klassifizierung von 4-Qubit Zuständen
Die SLOCC Klassifizierung von 4-Qubit Zuständen wird in Arbeiten von Miyake [87] und
Verstraete et al. [116] diskutiert. Beide kommen durch unterschiedliche Ansätze auf eine
ähnliche Struktur.
Die Klassifizierung von Verstraete et al. basiert auf einer Verallgemeinerung der Singulärwertzerlegung
auf komplexe orthogonale Äquivalenzklassen. Das Ergebnis sind neun
unterschiedliche Familien von Zuständen. Jeder 4-Qubit Zustand kann dann über SLOCC
Transformationen einer der Familien zugeordnet werden. Verstraete et al. behaupten, daß
der folgende Zustand |G abcd 〉, derjenige mit maximaler 4-Qubit Verschränkung ist:
|G abcd 〉 = a + d ( ) a − d( )
|0000〉 + |1111〉 + |0011〉 + |1100〉
2
2
+ b + c ( ) b − c( )
|0101〉 + |1010〉 + |0110〉 + |1001〉 . (2.53)
2
2
Der Ansatz von Miyake gründet auf einer Dualität zwischen verschränkten und separierbaren
Zuständen. Er leitet aus dieser Dualität die Verbindung zwischen Hyperdeterminanten
und Verschränkungsmessung ab. Hyperdeterminanten [49] sind die Verallgemeinerung
von Determinanten auf Hypermatrizen. Sie sind invariant unter Wirkung der Gruppe
SL(2, C)×SL(2, C)×...×SL(2, C), der Gruppe der SLOCC Transformationen. Deswegen
werden sie als mögliches Maß einer N−Qubit Verschränkung in einem N−Qubit Zustand
diskutiert. Für zwei Qubits entspricht die Hyperdeterminante gleich der Concurrence:
Für drei Qubits entspricht sie dem Tangle:
C = 2|DetA 2 | = 2|αδ − βγ|. (2.54)
τ 123 = 4|DetA 3 | (2.55)