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88 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
man muß mit ihr teilweise zurecht kommen, um die nötigen Verschränkungsinformationen
herauszuarbeiten. Daß Verschränkungsmaße durchaus Phasensensitiv sein können, beweist
nachstehendes Beispiel von Lohmayer et al. [78]. Der betrachtete Zustand ist eine parameterabhängige
Superposition von GHZ- und W-Zustand:
Die Berechnung des Tangle ergibt:
und somit eine Abhängigkeit von ϕ.
5.3.5 Diskussion
|Z(p,ϕ)〉 = √ p|GHZ〉 − e iϕ√ 1 − p|W 〉. (5.198)
∣
τ 123 (|Z(p,ϕ)〉) = ∣p 2 − 8√ 6√ ∣
p(1 − p)
9
3 e 3iϕ ∣∣ (5.199)
Die Verschränkungsstruktur eines 3-Qubit Zustandes ist natürlich komplizierter als die
eines 2-Qubit Zustandes. Es kann neben verschiedenen 2-Qubit Verschränkungen, eine
zusätzliche 3-Qubit Verschränkung auftreten. Dennoch ist es möglich, mit den Ortserwartungswerten
eines dreidimensionalen QW, die Struktur aufzuklären. Dabei tritt die
Schwierigkeit auf, daß die unterschiedlichen Verschränkungen sowohl Einfluß auf die zweidimensionalen
Mittelwerte 〈x i x j 〉, als auch auf den dreidimensionalen Mittelwert 〈x 1 x 2 x 3 〉
haben.
Wie im zweidimensionalen Fall konnte der direkte Zusammenhang zwischen den quadrierten
Mittelwerten 〈x i 〉 2 und der I-Concurrence gezeigt werden. Dabei wurde ebenfalls auf
den Zusammenhang zwischen den Mittelwerten und den Elementen der reduzierten Dichtematrizen
hingewiesen.
5.4 Vierdimensionaler QW
In diesem Unterabschnitt wird der Verschränkungseinfluß eines 4-Qubit Coin Startzustandes
auf einen vierdimensionalen QW untersucht. Ein allgemeiner 4-Qubit Zustand kann
in der Standardbasis als:
|φ 0 〉 =
16∑
i=1
α i |i〉 (5.200)
geschrieben werden. Wie im einleitenden Kapitel über Verschränkungsmaße bereits diskutiert,
ist die Verschränkungsstruktur eines 4-Qubit Zustandes nocht nicht vollständig
analysierbar. Im folgenden werden die Ortserwartungswerte als Funktion der α i abgeleitet.
Danach werden Beispielzustände betrachtet und diskutiert.
5.4.1 Berechnung der Erwartungswerte
5.4.1.1 1D Mittelwerte und I-Concurrence
Die analytische Berechnung der Erwartungswerte verläuft wie in den voher diskutierten
Modellen nach der verallgemeinerten Methode nach dem Vorbild von Brun et al. [25] und
einer Vereinfachung mittels der abgeleiteten Lemmas. Den eindimensionalen Mittelwert
〈x 1 〉 erhält man durch Vereinfachung des Integrals:
〈x 1 〉 = i
(2π) 4
∫π
k x1 ,k x2 ,k x3 ,k x4 =−π
dk x1 dk x2 dk x3 dk x4 〈φ 0 |
˜H
(1)
k x1
⊗ 11 ⊗ 11 ⊗ 11|φ 0 〉. (5.201)