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3.4 Nichtlineare 1D Modelle 47
Die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t + 1 mit Wellenvektor k wird bestimmt durch den
Zustand zum Zeitpunkt t mit Wellenvektor k − πτ. Der Stroboskopische Walk bewirkt
eine Phasendifferenz von πτ pro Zeitschritt. Um in den Ortsraum zurückzutransformieren
wählt man die Coinbasisdarstellung:
( )
ψ 0 (n,t + 1)
=
ψ 1 (n,t + 1)
∫ π
−π
dk
2π Ûk
( )
˜ψ0 (k − πτ,t)
e −ikn (3.104)
˜ψ 1 (k − πτ,t)
mit dem Würfeloperator:
( )
Û k = e−i π 2 τ e
√ ik e ik
. (3.105)
2 e −ik −e −ik
ψ 0 (n,t + 1) bzw. ψ 1 (n,t + 1) bezeichnen die Komponenten, bezogen auf die Coinbasis
|0〉, |1〉. Die gesamte Zeitentwicklung, vom Startpunkt t 0 bis zum Zeitpunkt t, kann man
wie folgt schreiben:
( )
ψ 0 (n,t)
=
ψ 1 (n,t)
∫ π
−π
dk
2π Ûf
( )
˜ψ0 (k − tπτ,t 0 )
e −ikn (3.106)
˜ψ 1 (k − tπτ,t 0 )
wobei die Abkürzung
Û f := U k ΛU k Λ 2 U k ...Λ t−1 U k (3.107)
mit
Λ :=
( )
e −iπτ 0
0 e iπτ
(3.108)
verwendet wurde. Die weitere Auswertung dieser Reihe ist komplizierter. Eine Vertauschung
der Λ- mit den Ûk-Matrizen ist für allgemeine τ nicht möglich, da folgende Kommutatorrelationen
gelten:
( )
[Λ n 0 e
,Ûk] = −2isin(nπτ)
ik
(3.109)
−e −ik 0
[Λ n Û k ,Λ m Û k ] = −isin ( πτ(m − n) )( )
1 1
. (3.110)
1 −1
Eine exakte Berechnung der Zustände ist nur bei bestimmten Annahmen für τ durchführbar,
vgl. die Arbeit von Wójcik et al. [118].
Um die τ-Abhängigkeit der Mittelwerte zu berechnen, kann man die Auswertung etwas
vereinfachen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich aus P(n,t) = |ψ 0 (n,t)| 2 +
|ψ 1 (n,t)| 2 , der Mittelwert aus 〈n〉 t = ∑ n
n P(n,t). Dazu schreibt man die Matrix Ûf
in Komponenten u ij = u ij (k,τ,t):
Û f =
( )
u 11 u 12
. (3.111)
u 21 u 22
Für den Startzustand im Coinraum wählt man (|0〉 + i|1〉)/ √ 2. Da der Startzustand im
Ortsraum lokalisiert ist, im Fourierraum also gleichverteilt, braucht der Shift um πτ nicht