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94 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
4000
2500
Cov(xi,xj);〈x1x2x3x4〉/˜c1 2
3000
2000
1000
0
(5.261);(5.259)
2000
1500
1000
500
0 0.1 0.2 0.3 0.4
(a)
γ
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
(b)
γ
Abbildung 5.12: Erwartungswerte und Kovarianzen des Miyake Zustandes (5.252) als Funktion
von γ. Linke Seite: Skalierter Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉/ ˜c 1 2 (gestrichelte
Linie) und Kovarianz Cov(x i , x j ) (durchgezogene Linie) als Funktion von γ.
Plots der analytischen Lösungen für t = 100. Rechte Seite: Darstellung des
angepaßten Erwartungswertes (5.261) (gestrichelte Linie) und der angepaßten
Kovarianzen (5.259) (durchgezogene Linie) als Funktion von γ für t = 100.
des 4-Qubit GHZ-Zustandes kann auf dieses Ergebnis führen, vgl. (5.250). Die zwei- und
vierdimensionalen Erwartungswerte sind parameterabhängig:
〈x i x j 〉 = ˜c 1 2 (2α 2 − 2γ 2 ) + ˜d 1
2
4γ(α + γ) (5.256)
〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
2 ˜d1
2
24γ(α − γ) + ˜c1 4 + ˜d 1
4
(5.257)
Da die Mittelwerte 〈x i 〉 gleich Null sind, entsprechen die zweidimensionalen Erwartungswerte
den Kovarianzen:
Cov(x i ,x j ) = 〈x i ,x j 〉 (5.258)
In Abb. 5.12a sind sowohl der skalierte Erwartungswert 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉/˜c 2 1 , als auch die Kovarianz
Cov(x i ,x j ) als Funktion des Parameters γ aufgetragen. Vergleicht man beide Größen
mit der Concurrence und den Abschätzungen für eine 4-Qubit Verschränkung, vgl. Abb.
2.7a,b, so erkennt man keinen direkten Zusammenhang.
Man erkennt aber, daß sowohl die Kovarianz, als auch der Mittelwert 〈x 1 x 2 x 3 x 4 〉 für γ = 0
einen endlichen Wert haben, also ungleich Null sind. Um einen Vergleich mit der Concurrence
zu bekommen, kann man die Nullinie der Kovarianz verschieben. Der Wert für γ = 0
entspricht genau einem Faktor ˜c 2 1 . Man kann also folgende Größe betrachten:
∣ ∣
∣
∣ ∣∣ ∣∣Cov(xi
∣Cov(x i ,x j ) − [Cov(x i ,x j )] γ=0 =
2 ,x j ) − ˜c 1 ∣ (5.259)
und mit der Concurrence vergleichen. In Abb. 5.12b ist diese Größe als Funktion von γ
aufgetragen. Vergleicht man diese Abbildung mit dem Plot der Concurrence, siehe Abb.
2.7a, so erkennt man eine sehr gute Übereinstimmung. Die analytische Auswertung im
Limes großer Zeiten liefert:
∣
∣ ⎧
⎨
2 ˜c 2 1 4γ(α − γ) if 0 ≤ γ ≤ √ 1
∣Cov(x i ,x j ) − ˜c 1 ∣ = 8
(5.260)
⎩
−˜c 2 1
1 4γ(α − γ) if √8 < γ ≤ √ 1 6