Dokument_1.pdf (3712 KB) - OPUS Bayreuth - Universität Bayreuth

3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 35
Operatoren andere Würfeloperatoren zu nutzen. Operatoren, die die räumlichen Freiheitsgrade
verschränken sind der DFT Coinoperator und der Grover Coinoperator, resultierend
aus den jeweiligen bekannten Quantenalgorithmen. Nimmt man die binäre Kodierung der
Coinbasis (von der 0 aus beginnend), so kann man beide Operatoren wie folgt darstellen.
Den DFT Operator
Cd D |µ〉 = √ 1 2∑
d −1
e 2πiµν/2d |ν〉 (3.57)
2
d
und den Grover Operator
ν=0
Cd G |µ〉 = √ 1 ( 2∑
d −1 )
−2|µ〉 + |ν〉 . (3.58)
2 d
ν=0
Für d = 2 ist die Matrixdarstellung anschaulicher:
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 1 1 1
−1 1 1 1
C2 D = 1 1 i −1 −i
2 ⎜
⎟ C2 G = 1 1 −1 1 1
⎝1 −1 1 −1⎠
2 ⎜
⎟
⎝ 1 1 −1 1 ⎠
1 −i −1 i
1 1 1 −1
(3.59)
Der Einfluß beider Operatoren im Vergleich zum Hadamardprodukt ist in Abb. 3.5 für
verschiedene Coin Startzustände graphisch dargestellt. 1 Diese sind aus [110] entnommen.
|ψ sym 〉 = 1 ( ) ( ) 1( )
|0〉 + i|1〉 ⊗ |0〉 + i|1〉 = |00〉 + i|01〉 + i|10〉 − |11〉 (3.60)
2
2
|ψ G 〉 = 1 ( )
|00〉 − |01〉 − |10〉 + |11〉 (3.61)
2
|ψ D 〉 = 1 ( 1 − i
|00〉 + √ |01〉 + |10〉 − 1 √ − i |11〉 ) (3.62)
2 2 2
Es zeigt sich, daß unterschiedliche Startzustände im Coinraum nötig sind, um für den
jeweiligen Operator symmetrische Verteilungen zu erhalten. Die Vierpeakstruktur des
Hadamardoperators mit dem symmetrischen Coin Startzustand (3.60) in Abb. 3.5a entspricht
der zweidimensionalen Erweiterung der eindimensionalen Verteilung mit der Zweipeakstruktur,
vgl. Abb. 3.1. Hier kann man sehr gut die Produktstruktur des Hadamardoperators
erkennen. Der DFT und der Grover Operator erzeugen ganz unterschiedliche
Verteilungen. Auffällig ist beispielsweise die Lokalisierung des Walkers am Startpunkt
durch den Grover Operator, vgl. Abb. 3.5e.
Im folgenden werden die Rekursionsrelationen abgeleitet. Der allgemeine Zustand zum
Zeitpunkt t lautet:
|ψ(t)〉 = ∑ x,y
{
α(x,y,t)|x,y,00〉 + β(x,y,t)|x,y,01〉+
}
γ(x,y,t)|x,y,10〉 + δ(x,y,t)|x,y,11〉 . (3.63)
1 Die Angabe der Gittergröße g in den Abbildungen, ist in der gesamten Arbeit immer auf eine Dimension
bezogen.