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86 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Erwartungswerten enthalten. Um also das Tangle abzubilden, ist ein funktionaler Zusammenhang
der Erwartungswerte zu betrachten. Da eine Verschränkung nur positiv definiert
ist, wird folgender Zusammenhang untersucht:
∣ {
∣|〈x 1 x 2 x 3 〉| − ˜c 1 |Cov(x1 ,x 2 )| + |Cov(x 1 ,x 3 )| + |Cov(x 2 ,x 3 )| }∣ ∣ (5.181)
Vom dreidimensionalen Erwartungswert wird die mit ˜c 1 skalierte Summe der Kovarianzen
subtrahiert. In Abb. 5.11 wird diese Größe mit dem Tangle als Funktion des Parameters
∆ verglichen. Man erkennt einen klaren Zusammenhang. Sowohl das Minimum bei ∆ = 3,
das lokale Maximum bei ∆ = 1 und das Maximum im Limes ∆ → ∞ sind deutlich zu
sehen.
5.3.3 Vergleich: Concurrence - Kovarianz
Es wurde bei Betrachtung der Zustände festgestellt, daß bei gleicher Concurrence auch
die jeweilige Kovarianz gleich war, also
C 12 = C 13 ⇐⇒ Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 1 ,x 3 ) (5.182)
C 12 = C 23 ⇐⇒ Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) (5.183)
C 13 = C 23 ⇐⇒ Cov(x 1 ,x 3 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) (5.184)
Im folgenden wird ein bestimmter Ansatz versucht, um diese Gleichheit allgemein zu
beweisen. Aus den Zusammenhängen aus der Arbeit von Coffman et al. [34] kann man
Gleichungen für die Concurrences herleiten, in denen nur die auf ein Qubit reduzierten
Dichtematrizen ρ i und das Tangle τ vorkommen, vgl. ebenfalls Kallosh und Linde [62]:
(
)
C12 2 = 2 Det(ρ 3 ) − Det(ρ 1 ) − Det(ρ 2 ) + 1 2 τ 123 (5.185)
)
C13 (Det(ρ 2 = 2 2 ) − Det(ρ 1 ) − Det(ρ 3 ) + 1 2 τ 123 (5.186)
)
C23 (Det(ρ 2 = 2 1 ) − Det(ρ 2 ) − Det(ρ 3 ) + 1 2 τ 123 (5.187)
Durch gleichsetzen kann das Tangle entfernt und Bedingungen für die Gleichheit der Concurrences
abgeleitet werden, die nur von den Determinanten der reduzierten Dichtematrizen
abhängen. Mit diesen ist einfacher zu arbeiten, als mit den Concurrences selber:
C 12 = C 13 ⇐⇒ Det(ρ 2 ) − Det(ρ 3 ) = 0 (5.188)
C 12 = C 23 ⇐⇒ Det(ρ 1 ) − Det(ρ 3 ) = 0 (5.189)
C 13 = C 23 ⇐⇒ Det(ρ 1 ) − Det(ρ 2 ) = 0, (5.190)
wobei die Bedingung positiv definierter Concurrences benutzt wurde. Unter der Annahme
reeller α i , lassen sich die Ausdrücke auf der rechte Seite weiter umformen. Somit erhält
man als Bedingungen für die Gleichheit der Concurrences:
(
)
Det(ρ 1 ) − Det(ρ 2 ) = (−α 2 + α 8 )(α 3 + α 5 ) + (α 4 + α 6 )(α 1 − α 7 )
(
)
−(α 4 − α 6 )(α 1 + α 7 ) + (α 3 − α 5 )(α 2 + α 8 ) = 0 (5.191)
(
)
Det(ρ 1 ) − Det(ρ 3 ) = (α 1 − α 6 )(α 4 + α 7 ) − (α 2 + α 5 )(α 3 − α 8 )
(
)
−(α 1 + α 6 )(α 4 − α 7 ) + (α 2 − α 5 )(α 3 + α 8 ) = 0 (5.192)