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Kapitel 6
Zusammenfassung
Inhalt dieser vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung von Verschränkungsstrukturen in
multidimensionalen diskreten Quantum Walk Modellen. Der besondere Schwerpunkt liegt
hierbei auf der Charakterisierung verschränkter Coin Startzustände mittels Ortskorrelationsfunktionen.
Die Ausbreitung von QW Modellen wird in besonderem Maße durch
zwei Faktoren bestimmt. Zum einen durch die Wahl des Würfeloperators, zum anderen
durch die Wahl des Startzustandes im Coinraum. Wählt man einen Würfeloperator in
Produktform, so sind die Korrelationen innerhalb der Verteilungen des QW alleine durch
die Korrelationen des Coin Startzustandes bestimmt. Man hat also zwei Ansatzpunkte
zur Verfügung. Ausgehend von der bekannten Verschränkungsstruktur des Coin Startzustandes
kann man den Einfluß auf die Ortsverteilungen, charakterisiert durch Korrelationsfunktionen,
analysieren. Andererseits kann man natürlich auch die andere Richtung
einschlagen, um ausgehend von den Ortsverteilungen, Rückschlüsse auf die Verschränkung
zu machen. Der erste Weg dient natürlich dazu die Zusammenhänge aufzuzeigen. Für 2-
und 3-Qubit Zustände ist die Frage nach der Verschränkungsstruktur bereits gelöst. Gemessen
werden kann die Verschränkung aus der Kombination Concurrences und Tangle.
Problematischer wird es bei der Betrachtung von 4-Qubit Zuständen. Da die auftretenden
Verschränkungsstrukturen noch nicht vollständig verstanden sind, ist die Untersuchung
der Ortsverteilungen folglich mit Unkenntnis behaftet. Bis dato konnte eine 4-Qubit Verschränkung
nur mit optimierten Bell Ungleichungen bzw. der CKW Ungleichung behandelt
werden. In Kapitel 2 wurden diese Maße mit polynomiellen Invarianten verglichen.
Im direkten Vergleich bei der Behandlungen von parameterabhängigen 4-Qubit Zuständen
konnte gezeigt werden, daß eine der Invarianten dasselbe Parameterverhalten aufzeigt.
Die beiden unterschiedlichen Ansatzpunkte haben somit unterschiedliche Anwendungsgebiete.
Ist einerseits die Verschränkungsstruktur und andererseits deren Abbildung in
den Ortsraum des QW vollkommen verstanden, so lassen sich QW Experimente dahingehend
nutzen, die Verschränkung eines unbekannten Coin Startzustandes zu bestimmen. Ist
der Coin Startzustand zwar bekannt, dessen Verschränkung aber noch nicht bestimmbar,
so können Ortskorrelationsfunktionen hilfreich sein, um die Struktur der Verschränkung
besser zu verstehen.
Zur Klärung dieser Fragen wurden zwei Modelle untersucht. Das erste war ein im Ortsraum
eindimensionales Modell mit mehreren Coins. Durch analytische und numerische Rechnungen
konnte für bestimmte Zustände ein direkter Zusammenhang zwischen quadrierten
Ortsmittelwerten und dem Verschränkungsmaß I-Concurrence nachgewiesen werden. Die
Zustände, für die diese Beziehung gilt, hatten nur eine Art der Verschränkung und wurden
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