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5.3 Dreidimensionaler QW 81
zustand liefert:
〈x 1 〉 = 〈x 3 〉 = ˜c 1 κ 2 2 (5.151)
〈x 2 〉 = ˜c 1 (2κ 2 1 − κ 2 2) (5.152)
〈x 1 x 2 〉 = 〈x 2 x 3 〉 = −˜c 1 2 κ 2 2 + ˜d 1
2
2κ1 κ 2 (5.153)
〈x 1 x 3 〉 = ˜c 1 2 (−2κ 2 1 + κ 2 2) + ˜d 1
2
2κ
2
1 (5.154)
〈x 1 x 2 x 3 〉 = −˜c 1 3 + ˜c 1 ˜d1
2
2(κ
2
1 + 2κ 1 κ 2 ) (5.155)
.
Die folgenden Fragen stellen sich bei Betrachtung der Erwartungswerte des Zustandes
|ψ 6 〉:
• Kann die Struktur der Verteilung der 2-Qubit Verschränkungen herausgearbeitet
werden?
• Ist es möglich eine nicht vorhandene 3-Qubit Verschränkung zu erkennen?
• Können die jeweiligen Verschränkungen mit den Erwartungswerten gemessen werden?
Die eindimensionalen Mittelwerte 〈x i 〉 sind nach Gleichung (5.116) proportional zur jeweiligen
quadrierten I-Concurrence IC 2 i , mit:
IC 2 1−23 = IC 2 3−12 =
η(η + ∆ − 2) + 4
η
IC2−13 2 = 8 η2. (5.156)
Die Restterme Rest xi sind gleich Null. Durch die Angabe der I-Concurrences ist somit
die Globalverschränkung Q berechenbar, vgl. (2.15). In Abb. 5.8 sind die Mittelwerte als
Funktion von ∆ dargestellt und die numerische Simulation mit der analytischen Lösung
verglichen. Abb. 5.9 veranschaulicht die höheren Erwartungswerte sowie die Kovarianzen
als Funktion von ∆.
Die Concurrence Struktur ist einerseits an den zweidimensionalen Mittelwerten, andererseits
an den Kovarianzen erkennbar:
Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) = −˜c 1 2 2κ 2 2 (1 − κ2 2 ) + ˜d 1
2
2κ1 κ 2 (5.157)
Cov(x 1 ,x 3 ) = −˜c 1 2 (1 − 2κ 2 2 ) + ˜d 1
2
(1 − κ
2
2 ) (5.158)
Die Gleichheit zweier Concurrences spiegelt sich in der Gleichheit der Kovarianzen bzw.
der zweidimensionalen Erwartungswerte wieder:
C 12 = C 23 ⇐⇒ 〈x 1 x 2 〉 = 〈x 2 x 3 〉 (5.159)
C 12 = C 23 ⇐⇒ Cov(x 1 ,x 2 ) = Cov(x 2 ,x 3 ) (5.160)
Unter Beachtung der Vorzeichen lassen sich die Concurrences als Funktion der κ i schreiben:
C 12 = C 23 = −2κ 1 κ 2 C 13 = 2κ 2 1 (5.161)
und somit die Kovarianzen als Funktion der Concurrences darstellen:
Cov(x 1 ,x 2 ) = −˜c 1 2 (C 2 12 + C 12) (5.162)
Cov(x 1 ,x 3 ) = −˜c 1 2 (C 2 13 − C 13 ) (5.163)