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48 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle 5 〈n〉 0 -5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ Abbildung 3.10: Mittelwert 〈n〉 als Funktion von τ eines eindimensionalen Stroboskopischen QW. Vergleich der numerischen Simulation (Linie) mit der anlaytischen Berechnung (Punkte) für t = 30 aus (3.117). beachtet zu werden. Man erhält nun aus (3.106) für die einzelnen Komponenten des Coinvektors: ψ 0 (n,t) = ψ 1 (n,t) = ∫ π −π ∫ π −π dk 2π dk 2π Interessiert ist man an den Wahrscheinlichkeitsamplituden: 1 √ 2 (u 11 + iu 12 )e −ikn (3.112) 1 √ 2 (u 11 + iu 12 )e −ikn (3.113) ψ 0 (n,t)ψ0 ∗ (n,t) = 1 2 ψ 1 (n,t)ψ1 ∗ (n,t) = 1 2 ∫ π ∫ π −π −π ∫ π ∫ π −π −π dk dk ′ ( )( u11 + iu 12 u ′ 2π 2π 11 + iu ′ ∗ } {{ 12) } :=I 0 (k,k ′ ,t) dk dk ′ ( )( u21 + iu 22 u ′ 2π 2π 21 + iu ′ ∗ } {{ 22) } :=I 1 (k,k ′ ,t) e −in(k−k′ ) e −in(k−k′ ) (3.114) (3.115) wobei u ′ ij = u′ ij (k′ ,τ,t) nun Funktion von k ′ ist. Durch Anwendung der Relation (3.25) erhält man eine Gleichung für den Mittelwert: 〈n〉 t = i 4π = − i 4π ∫ π ∫ π −π −π ∫ π −π dk dk ′( ) I 0 (k,k ′ ,t) + I 1 (k,k ′ ,t) δ (1) (k − k ′ ) (3.116) dk ∂ k ′ [ ] I 0 (k,k ′ ,t) + I 1 (k,k ′ ,t) k ′ =k (3.117) Dieses Integral läßt sich mit einem Computeralgebra Programm für Zeiten bis ungefähr t = 30 mit angemessenem Aufwand berechnen. In Abb. 3.10 wird die Auswertung des Integrals mit der numerischen Simulation verglichen. Man erhält perfekte Übereinstimmung. Der Stroboskopische QW war der erste in einer Reihe von Modellen bzw. Arbeiten, die
3.5 Diskussion 49 den Einfluß von Nichtlinearitäten untersucht haben. Einen verallgemeinerten QW haben Wójcik et al. [118] betrachtet. Bei diesem wird bei Anwendung des Shiftoperators Ŝ eine allgemeine ortsabhängige Phase φ(n) durch den Walker mitgenommen: Ŝ ±1 |n〉 = e iφ(n) |n ± 1〉 (3.118) Den Zusammenhang mit dem Stroboskopischen QW erhält man durch: φ(n) = 〈n|H|n〉t p , (3.119) wobei H ein Hamiltonoperator und t p die Störungsperiode ist. Die Verbindung zum Standard QW ergibt sich durch eine konstante Phase. Wójcik et al. diskutieren nun den QW für den Fall φ(n) = nφ, wobei φ ein Rationalbruch von φ = 2πq/p, mit q und p coprim, ist. Je nach Wahl von p ergeben sich unterschiedliche Arten ballistischer Diffusion. Für irrationale φ/(2π) erhalten sie eine dynamische Lokalisation des Walkers. Die Arbeit von Bañuls et al. [10] untersucht einen zeitabhängigen Coinoperator Ĉ(t). Für einen betrachteten Spezialfall ist dieser mit dem verallgemeinerten QW von Wójcik et al. äquivalent. Sie erhalten ebenfalls, einerseits quasiperiodische Dynamik, andererseits dynamische Lokalisierung. In der Arbeit von Navarrete et al. [89] wird ein allgemeiner nichtlinearer QW untersucht. Für eine spezielle Wahl der Nichtlinearität wird das Verhalten der Peakstruktur der Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben. Dieses ist mit dem Verhalten von Solitonen vergleichbar. Die Arbeit von Košík et al. [74] diskutiert stochastische Phasenshifts innerhalb eines QW Modells. Dadurch ist es Košík et al. möglich Dekohärenz und den Quanten - Klassischen Übergang zu studieren. 3.5 Diskussion Innerhalb diese Kapitels wurden verschiedene Arten diskreter QW Modelle betrachtet und genauer analysiert. Durch Erweiterung des Coinraumes bzw. des Ortsraumes einerseits und durch Nichtlinearitäten andererseits, ist es möglich, das Ausbreitungsverhalten des Quantum Walks gezielt zu steuern. Dies stellt einen Ansatzpunkt für weitere Analysen bezüglich einer Anwendung innerhalb der Quanteninformationstheorie dar. Es wurden Wege aufgezeigt, die Modelle sowohl numerisch als auch in bestimmten Fällen analytisch auszuwerten. Wie man gesehen hat, besteht ein Zusammenhang zwischen charakteristischen Größen der Walkausbreitung und einer Coin-Gitter Verschränkung. In den beiden folgenden Kapiteln wird nun der Einfluß der Verschränkung des Coin Startzustandes auf die Gitterausbreitung genauer untersucht. Dabei wird der Zuammenhang zwischen Verschränkung einerseits und Ortskorrelationen andererseits exakt analysiert.
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Verschränkungsstrukturen in multid
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Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114:
107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116:
Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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