Dokument_1.pdf (3712 KB) - OPUS Bayreuth - Universität Bayreuth

102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung
als Zustände mit reiner Verschränkung bezeichnet: bei 3-Qubit Zuständen beispielsweise
entweder nur 2-Qubit verschränkt oder nur 3-Qubit verschränkt.
Modelle mit mehr Aussagekraft sind höherdimensionale QW Modelle. Pro Qubit im Coinraum
gibt es eine vorhandene Ortsrichtung. Neben den eindimensionalen Ortserwartungswerten
〈x i 〉 können in diesen Modellen höhere Erwartungswerte studiert werden. Zudem
ist es möglich, Korrelationen zwischen den einzelnen Raumrichtungen zu untersuchen. Zu
diesem Zweck wurde der QW analytisch betrachtet. Es war möglich, die Erwartungswerte
exakt zu berechnen und als Funktion der Parameter eines allgemeinen Coin Startzustandes
anzugeben. Hierbei wurde gezeigt, daß die zweiten Momente unabhängig von der Struktur
des Coin Startzustandes sind. Die Darstellung der Mittelwerte kann immer auf folgende
Form gebracht werden:
Ortserwartungswert = ∑ Faktor Zeitentwicklung QW × Faktor Coinstruktur Startzustand
Der Mittelwert wird also im allgemeinen durch zwei Faktoren bestimmt. Der eine Faktor
folgt direkt aus der Zeitentwicklung des QW, der andere hängt von der Struktur des Coin
Startzustandes ab. Letzterer enthält die Information über die Verschränkungsstruktur. Im
Limes großer Zeiten sind die Faktoren aus der Zeitentwicklung des QW alle gleich und
können als konstanter Faktor vor die Summe gezogen werden.
Die Struktur des Coinfaktors kann in direkten Zusammenhang mit den Elementen der
zugehörigen Dichtematrix bzw. reduzierten Dichtematrix gebracht werden. Diese scheint
von allgemeiner Gültigkeit zu sein, da sie unabhängig von der Anzahl der Raumdimensionen
ist. Mit dieser Darstellung war es in Kapitel 5 möglich, einen allgemeinen Zusammenhang
zwischen quadriertem eindimensionalen Mittelwert 〈x i 〉 2 und der quadrierten
I-Concurrence ICi 2 herzuleiten:
{ }
〈x i 〉 2 2
= ˜c 1 (1 − ICi 2 ) + Rest xi (6.1)
Es besteht also eine direkte Beziehung zwischen eindimensionalen Mittelwerten und einem
Verschränkungsmaß. Zusätzlich tritt ein Restterm Rest xi auf. Bei den betrachteten
Beispielzuständen war dieser Restterm immer gleich Null. Die Darstellung von Spinkorrelationen
weist im Vergleich eine große Ähnlichkeit auf. Daß ein Zusammenhang, zwischen
Verschränkungsmaßen einerseits und Ortsmittelwerten andererseits existiert, folgt
direkt aus der Beziehung zwischen Mittelwerten und der reduzierten Dichtematrix. Die
I-Concurrence steht in direktem funktionalen Zusammenhang, als Spur über das Quadrat
der reduzierten Dichtmatrix. Im Vergleich kann die Concurrence nicht direkt aus den auf
zwei Qubits reduzierten Dichtematrizen berechnet werden. Die Berechnung der Concurrence
führt über eine Maximierung der Eigenwerte der reduzierten Dichtematrix. Schon
aufgrund der Komplexität dieser Berechnung kann kein direkter Zusammenhang zwischen
Mittelwerten 〈x i x j 〉 und Concurrences C ij bestehen, obwohl natürlich die Information in
den Dichtematrizen vorhanden ist.
Um Korrelationen zweier Zufallsvariablen zu betrachten, berechnet man die Kovarianz.
Im zweidimensionalen Fall konnte für 2-Qubit Zustände mit reellen Koeffizienten gezeigt
werden, daß eine endliche Concurrence eine notwendige Bedingung für eine endliche Kovarianz
ist. Eine Verschränkung des Coin Startzustandes läßt sich also durch eine Korrelation
der entsprechenden Raumrichtungen feststellen.
Die berechneten Mittelwerte bzw. Kovarianzen sind für Coin Startzustände mit einer unterschiedlichen
Verschränkungsstruktur untersucht worden. Für 2-Qubit Zustände und