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68 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und mehrdimensionale QW Modelle
Die Berechnug der zweidimensionalen zweiten Momente liefert aufgrund der Diagonalgestalt
der Entwicklungsmatrix keine weiteren Informationen. Zur Berechnung werden
folgende Integranden verwendet:
〈x 2 y〉 → 〈φ 0 |
〈xy 2 〉 → 〈φ 0 |
〈x 2 y 2 〉 → 〈φ 0 |
(2) ˜H
k x
⊗
(1) ˜H
k x
⊗
(2) ˜H
k x
⊗
˜H
(1)
k y
|φ 0 〉 (5.70)
˜H
(2)
k y
|φ 0 〉 (5.71)
˜H
(2)
k y
|φ 0 〉 (5.72)
und man erhält nach ausführen der Integration die Ortserwartungswerte:
〈xy 2 〉 = ˜c 2 〈x〉 (5.73)
〈x 2 y〉 = ˜c 2 〈y〉 (5.74)
〈x 2 y 2 〉 = ˜c 2
2
(5.75)
Durch Kombination mit einem zweiten Moment erhält man den eindimensionalen Erwartungswert,
multipliziert mit dem Faktor ˜c 2 .
5.2.2 Mittelwerte und I-Concurrence
Das Hauptergebnis des vorangegangenen Kapitels war ein Zusammenhang zwischen den
quadratischen Mittelwerten und der I-Concurrence. Diesen Zusammenhang kann man
ebenfalls für zweidimensionale QW Modelle ableiten.
Die I-Concurrence ist eine Funktion der reduzierten Dichtematrizen ρ 1 = tr 2 ρ 12 bzw.
ρ 2 = tr 1 ρ 12 , mit ρ 12 = |φ 0 〉〈φ 0 |:
IC 1−2 =
Das Ziel sind Gleichungen der Form:
√
2(1 − trρ 2 1 ) IC 2−1 =
√
2(1 − trρ 2 2 ) (5.76)
〈x〉 2 ∼ (1 − IC 2 1−2 ) 〈y〉2 ∼ (1 − IC 2 2−1 ) (5.77)
Der rechte Teil der Gleichungen kann mit obigem Zusammenhang auch als
1 − IC 2 i = 2tr(ρ 2 i) − 1 (5.78)
geschrieben werden. Für den allgemeinen 2-Qubit Zustand (5.51) berechnen sich die reduzierten
Dichtematrizen wie folgt:
(
) (
)
|α|
ρ 1 =
2 + |β| 2 αγ ∗ + βδ ∗
|α|
ρ 2 =
2 + |γ| 2 αβ ∗ + γδ ∗
(5.79)
α ∗ γ + β ∗ δ |γ| 2 + |δ| 2 α ∗ β + γ ∗ δ |β| 2 + |δ| 2
Die Spurbildung über die quadratischen Matrizen liefert:
tr(ρ 2 1) = ( |α| 2 + |β| 2) 2 +
(
|γ| 2 + |δ| 2) 2 + 2
(
αγ ∗ + βδ ∗)( α ∗ γ + β ∗ δ ) (5.80)
tr(ρ 2 2) = ( |α| 2 + |γ| 2) 2 +
(
|β| 2 + |δ| 2) 2 + 2
(
αβ ∗ + γδ ∗)( α ∗ β + γ ∗ δ ) (5.81)
Die Ableitung der obigen Form soll nun detailliert für 〈x〉 2 nachvollzogen werden, die
Ableitung für 〈y〉 2 erfolgt auf gleichem Wege. Die Spur über die quadrierte reduzierte
Dichtematrix ρ 1 , kann als Funktion der Elemente von ρ 1 geschrieben werden:
tr(ρ 2 1 ) = R2 11 + R2 22 + 2R 12R 21 , (5.82)