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Kapitel 5
Verschränkung und
mehrdimensionale QW Modelle
Dieses Kapitel beschreibt die Erweiterung des Hadamard Walks auf mehr als eine räumliche
Dimension. Im letzten Kapitel wurde gezeigt, daß es möglich ist, die räumlichen
Mittelwerte eines eindimensionalen QW Modells auf die Verschränkung des Coin Startzustandes
zu beziehen. Für Zustände mit einer bestimmten Verschränkungsstruktur konnte
der direkte Zusammenhang mit einem Verschränkungsmaß hergeleitet werden. Das Modell
soll nun bezüglich der Raumdimension erweitert werden. Da in höherdimensionalen QW
Modellen neben den eindimensionalen Ortsmittelwerten, Korrelationen der verschiedenen
Raumrichtungen betrachtet werden können, wird eine tiefer gehende Erkenntnis über die
Verschränkungsstruktur des Coin Startzustandes erwartet.
Die Abbildung von Verschränkungsmaßen auf Korrelationsfunktionen ist in der Literatur
im Zusammenhang mit Spinketten schon behandelt worden. In der Arbeit von Glaser et
al. [50] werden die Concurrence, die I-Concurrence und das Tangle als Funktion von Spinkorrelationen
dargestellt. Durch Kombination verschiedener Korrelationsfunktionen werden
Beziehungen zu Verschränkungsmaßen ermöglicht. Die bereits erwähnte Kovarianz ist
ebenfalls eine einfache Kombination verschiedener Erwartungswerte. In einer neueren Arbeit
von Palumbo et al. [95] wird die Kovarianz in einem Spinsystem mit der Concurrence
in Beziehung gesetzt. Die Charakterisierung der Verschränkung mit der Negativität der
Kovarianzmatrix bechreibt die Arbeit von Usha Devi et al. [112]. Gühne et al. [54] stellen
Quantenzustände als Kovarianzmatrix passender Observablen dar und können dadurch
Beziehungen zu verschiedenen Verschränkungskriterien herstellen.
Das Kapitel ist wie folgt aufgebaut. Der erste Abschnitt dient der Berechnung der Zeitentwicklung
des Hadamard Walks. Dieser ist in der Literatur zwar schon ausführlich diskutiert
worden, jedoch werden Vereinfachungen aufgezeigt, die bei der exakten Berechnung
der Verteilungsmomente hilfreich sind. Die darauf folgenden Abschnitte behandeln
jeweils zwei-, drei- und vierdimensionale QW Modelle. Zum einen wird eine exakte Darstellung
der Ortserwartungswerte in Abhängigkeit der Komponenten des Coin Startzustandes
berechnet. Desweiteren werden die Erwartungswerte bezüglich der Verschränkung dieser
Zustände untersucht. Mit den Charakteristika der Gitterverteilung ist es möglich, die Verschränkungsstruktur
des Coin Startzustandes zu verstehen bzw. genauer zu analysieren.
Durch Kombination verschiedener Ortskorrelationsfunktionen ist es sogar möglich, die unterschiedlichen
Verschränkungen auch komplizierter Zustände zu messen.
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