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46 Kapitel 3 ⊗ Diskrete Quantum Walk Modelle 50 t 45 40 35 30 25 20 15 10 5 30 25 20 15 10 5 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ (a) t 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ (b) Abbildung 3.9: Zeitentwicklung der Standardabweichung (a) und der Verschränkungsentropie (b)(3.98) für den Stroboskopischen QW mit (|0〉+i|1〉)/ √ 2 als Coin Startzustand. Die Gittergröße ist g = 120. Die Auflösung für τ ist 1/100.
3.4 Nichtlineare 1D Modelle 47 Die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t + 1 mit Wellenvektor k wird bestimmt durch den Zustand zum Zeitpunkt t mit Wellenvektor k − πτ. Der Stroboskopische Walk bewirkt eine Phasendifferenz von πτ pro Zeitschritt. Um in den Ortsraum zurückzutransformieren wählt man die Coinbasisdarstellung: ( ) ψ 0 (n,t + 1) = ψ 1 (n,t + 1) ∫ π −π dk 2π Ûk ( ) ˜ψ0 (k − πτ,t) e −ikn (3.104) ˜ψ 1 (k − πτ,t) mit dem Würfeloperator: ( ) Û k = e−i π 2 τ e √ ik e ik . (3.105) 2 e −ik −e −ik ψ 0 (n,t + 1) bzw. ψ 1 (n,t + 1) bezeichnen die Komponenten, bezogen auf die Coinbasis |0〉, |1〉. Die gesamte Zeitentwicklung, vom Startpunkt t 0 bis zum Zeitpunkt t, kann man wie folgt schreiben: ( ) ψ 0 (n,t) = ψ 1 (n,t) ∫ π −π dk 2π Ûf ( ) ˜ψ0 (k − tπτ,t 0 ) e −ikn (3.106) ˜ψ 1 (k − tπτ,t 0 ) wobei die Abkürzung Û f := U k ΛU k Λ 2 U k ...Λ t−1 U k (3.107) mit Λ := ( ) e −iπτ 0 0 e iπτ (3.108) verwendet wurde. Die weitere Auswertung dieser Reihe ist komplizierter. Eine Vertauschung der Λ- mit den Ûk-Matrizen ist für allgemeine τ nicht möglich, da folgende Kommutatorrelationen gelten: ( ) [Λ n 0 e ,Ûk] = −2isin(nπτ) ik (3.109) −e −ik 0 [Λ n Û k ,Λ m Û k ] = −isin ( πτ(m − n) )( ) 1 1 . (3.110) 1 −1 Eine exakte Berechnung der Zustände ist nur bei bestimmten Annahmen für τ durchführbar, vgl. die Arbeit von Wójcik et al. [118]. Um die τ-Abhängigkeit der Mittelwerte zu berechnen, kann man die Auswertung etwas vereinfachen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich aus P(n,t) = |ψ 0 (n,t)| 2 + |ψ 1 (n,t)| 2 , der Mittelwert aus 〈n〉 t = ∑ n n P(n,t). Dazu schreibt man die Matrix Ûf in Komponenten u ij = u ij (k,τ,t): Û f = ( ) u 11 u 12 . (3.111) u 21 u 22 Für den Startzustand im Coinraum wählt man (|0〉 + i|1〉)/ √ 2. Da der Startzustand im Ortsraum lokalisiert ist, im Fourierraum also gleichverteilt, braucht der Shift um πτ nicht
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Seite 5 und 6: Inhaltsverzeichnis 1 Einführung &
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Seite 9 und 10: 3 vergleichbar. Algorithmen aus der
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Seite 33 und 34: 3.1 Eindimensionale QW Modelle 27 0
Seite 35 und 36: 3.1 Eindimensionale QW Modelle 29 i
Seite 37 und 38: 3.2 Erweiterung des Coinraumes 31 z
Seite 39 und 40: 3.2 Erweiterung des Coinraumes 33 0
Seite 41 und 42: 3.3 Mehrdimensionale QW Modelle 35
Seite 49 und 50: 3.4 Nichtlineare 1D Modelle 43 menh
Seite 51: 3.4 Nichtlineare 1D Modelle 45 300
Seite 55: 3.5 Diskussion 49 den Einfluß von
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Seite 66 und 67: 60 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und
Seite 102 und 103:
96 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und
Seite 104 und 105:
98 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung und
Seite 106 und 107:
100 Kapitel 5 ⊗ Verschränkung un
Seite 108 und 109:
102 Kapitel 6 ⊗ Zusammenfassung a
Seite 111 und 112:
Anhang A Charakterisierung der 3- u
Seite 113 und 114:
107 0.6 C 12 ,C 23 C 13 0.5 Cij 0.4
Seite 115 und 116:
Anhang B Exakte Ortserwartungswerte
Seite 117 und 118:
111 〈x 4 〉 = ˜c 1 {|α 1 | 2
Seite 119 und 120:
113 { 3 〈x 1 x 3 x 4 〉 = ˜c 1
Seite 121 und 122:
Literaturverzeichnis [1] Abal, G.;
Seite 123 und 124:
LITERATURVERZEICHNIS 117 [32] Child
Seite 125 und 126:
LITERATURVERZEICHNIS 119 [69] Knigh
Seite 127 und 128:
LITERATURVERZEICHNIS 121 [105] Stea
Seite 129:
Danksagung Zum Schluß der Dank den
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