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3.1 Eindimensionale QW Modelle 29
ist.
Es gibt mehrere Möglichkeiten das Modell analytisch zu lösen. Aufgrund der Translationsinvarianz
beim unendlichen Gitter, ist eine Fouriertransformation die erste Wahl. Diese
Rechnung wurde von Nayak und Vishwanath [90] und Ambainis et al. [8] diskutiert.
Aufgrund des Shiftoperators wird die Wellenfunktion am Ort x zum Zeitpunkt t+1 durch
die Wellenfunktionen zum Zeitpunkt t an den Orten x ± 1 bestimmt:
ψ(x,t + 1) = M + ψ(x − 1,t) + M − ψ(x + 1,t) (3.15)
mit M + ,M − , den jeweiligen Teilen des Würfeloperators. Die Transformation der Wellenfunktion
ψ(x,t) in den k-Raum erfolgt über:
˜ψ(k,t) = ∑ x
ψ(x,t)e ikx . (3.16)
Im Fourierraum läßt sich nun die Anwendung der Operatoren M + ,M − zusammenziehen.
Dies kann an folgender Rechnung nachvollzogen werden:
˜ψ(k,t + 1) = ∑ (M + ψ(x − 1,t) + M − ψ(x + 1,t))e ikx
x
∑
∑
= e ik M + ψ(n − 1,t)e ik(x−1) + e −ik M − ψ(x + 1,t)e ik(x+1)
x
x
= (e ik M + + e −ik M − ) ˜ψ(k,t)
(3.17)
Im Fourierraum wird also der Übergang von t nach t+1 durch Anwendung eines einzelnen
Operators ausgeführt:
˜ψ(k,t + 1) = M k ˜ψ(k,t) (3.18)
mit M k = e ik M + + e −ik M − . Die Zeitentwicklung läßt sich nun einfach berechnen. Durch
Diagonalisierung des M k Operators reduziert sich die t-fache Matrixmultiplikation auf eine
Potenzierung der zugehörigen Eigenwerte λ i k :
˜ψ(k,t) = M t k ˜ψ(k,t 0 ) mit
M t k = ∑ i
(λ i k )t |φ i k 〉〈φi k | (3.19)
Das Problem stellt die Rücktransformation in den Ortsraum dar. Die exakte Lösung der
Integrale ist für beliebige Zeiten nur näherungsweise möglich. Beispielsweise verwenden
Nayak und Vishwanath [90] zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für große
Zeiten die Methode der stationären Phasen [12].
Zur Berechnung der Verteilungsmomente haben Brun et al. [25] eine elegante Gleichung
abgeleitet. Im k-Raum kann die Wirkung des Entwicklungsoperators auf einen an der
Stelle |x 0 = 0〉 im Coinzustand |φ 0 〉 startenden Walker als
geschrieben werden, da
Ê(|k〉 ⊗ |φ 0 〉) = |k〉 ⊗ Ûk |φ 0 〉 (3.20)
|0〉 =
∫ π
−π
dk
|k〉 (3.21)
2π
ist. Ûk ist ein allgemeiner Würfeloperator im k−Raum. (Zur Vereinfachung wird das Dach
ˆbei den Operatoren weggelassen.) Die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t, |Ψ(t)〉, ist dann
gegeben durch:
∫ π
|Ψ(t)〉 = E t dk
|ψ 0 〉 =
2π |k〉 ⊗ (U k) t |φ 0 〉. (3.22)
−π